Bài 7.35 trang 54 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức: Giao điểm và sự vuông góc của hai đường thẳng

Bài 7.35 trang 54 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng y = x và y = –x + 2.

a) Vẽ hai đường thẳng đã cho trên cùng mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm giao điểm A của hai đường thẳng đã cho.

c) Gọi B là giao điểm của đường thẳng y = –x + 2 và trục Ox. Chứng minh rằng tam giác OAB vuông tại A, tức hai đường thẳng y = x và y = –x + 2 vuông góc với nhau.

d) Có nhận xét gì về tích hai hệ số góc của hai đường thẳng đã cho?

Phân tích nhanh

Bài toán này tích hợp nhiều kiến thức quan trọng về hàm số bậc nhất:

1. Vẽ đồ thị: Xác định các điểm đặc biệt (gốc tọa độ, giao điểm với các trục).

2. Tìm giao điểm: Sử dụng phương trình hoành độ giao điểm.

3. Hình học phẳng: Sử dụng tính chất tam giác cân và đường trung tuyến để chứng minh vuông góc.

4. Tính chất đặc biệt: Mối liên hệ giữa hệ số góc và hai đường thẳng vuông góc.

Giải Bài 7.35 trang 54 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Vẽ hai đường thẳng trên cùng mặt phẳng tọa độ

• Đường thẳng $d_1: y = x$:

  • Đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$.

  • Cho $x = 1 \Rightarrow y = 1$, ta được điểm $(1; 1)$.

• Đường thẳng $d_2: y = –x + 2$:

  • Cho $y = 0 \Rightarrow x = 2$, giao điểm với trục $Ox$ là $B(2; 0)$.

  • Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2$, giao điểm với trục $Oy$ là $C(0; 2)$.

b) Tìm giao điểm $A$

Phương trình hoành độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$:

Thay $x = 1$ vào $y = x \Rightarrow y = 1$.

Kết luận: Tọa độ giao điểm là $A(1; 1)$.

c) Chứng minh tam giác $OAB$ vuông tại $A$

1. Ta có $B(2; 0)$ và $C(0; 2)$. Dễ thấy $OB = OC = 2$ nên $\Delta OBC$ vuông cân tại $O$, suy ra $\widehat{OBC} = \widehat{OCB} = 45^\circ$.

2. Xét điểm $A(1; 1)$, ta thấy $A$ là trung điểm của $BC$ (vì $x_A = \frac{x_B + x_C}{2}$ và $y_A = \frac{y_B + y_C}{2}$).

3. Trong tam giác $OBC$ cân tại $O$, $OA$ là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy $BC$.

4. Theo tính chất tam giác cân, đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

   $$\Rightarrow OA \perp BC \text{ hay } OA \perp AB$$

Kết luận: Tam giác $OAB$ vuông tại $A$, đồng thời đường thẳng $y = x$ vuông góc với đường thẳng $y = -x + 2$.

d) Nhận xét về tích hai hệ số góc

• Hệ số góc của $y = x$ là $a_1 = 1$.

• Hệ số góc của $y = -x + 2$ là $a_2 = -1$.

• Tích hai hệ số góc: $a_1 \cdot a_2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

Nhận xét: Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc của chúng bằng $-1$.

Tổng kết kiến thức

• Cách tìm giao điểm: Giải phương trình hoành độ $a_1x + b_1 = a_2x + b_2$.

• Tính chất vuông góc: Hai đường thẳng $d: y = ax + b$ và $d': y = a'x + b'$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a \cdot a' = -1$. Đây là một công thức cực kỳ hữu ích để giải nhanh các bài tập trắc nghiệm.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Vẽ đồ thị thiếu chính xác: Không ký hiệu các điểm $A, B, C$ và gốc tọa độ $O$.

• Lúng túng khi chứng minh hình học: Nhiều bạn không nhận ra $A$ là trung điểm của $BC$ để áp dụng tính chất tam giác cân.

• Nhầm lẫn hệ số góc: Một số bạn cho rằng hệ số góc của $y = x$ là $0$ thay vì là $1$.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài kiểm tra trắc nghiệm, nếu đề bài hỏi hai đường thẳng có vuông góc không:

1. Xác định nhanh hệ số $a$ và $a'$.

2. Lấy $a$ nhân $a'$.

3. Nếu kết quả bằng $-1$, chắc chắn chúng vuông góc. (Ví dụ: $y = 2x$ và $y = -0,5x \Rightarrow 2 \cdot (-0,5) = -1 \Rightarrow$ Vuông góc).