Phương trình lượng giác và bài tập áp dụng (Ôn tập cơ bản)

I. Tóm tắt lý thuyết Phương trình lượng giác

1. Phương trình $\sin x = a$   (1)

• $|a| > 1$: phương trình (1) vô nghiệm.

• $|a| \le 1$: gọi $\alpha$ là một cung thoả mãn $\sin \alpha = a$. Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là:

  $$x = \alpha + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

  và

  $$x = \pi - \alpha + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Nếu $\alpha$ thoả mãn điều kiện $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ và $\sin \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \arcsin a$.

Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

và

Phương trình $\sin x = \sin \beta^\circ$ có các nghiệm là:

và

2. Phương trình $\cos x = a$   (2)

• $|a| > 1$: phương trình (2) vô nghiệm.

• $|a| \le 1$: gọi $\alpha$ là một cung thoả mãn $\cos \alpha = a$. Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là:

  $$x = \pm \alpha + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Nếu $\alpha$ thoả mãn điều kiện $0 \le \alpha \le \pi$ và $\cos \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \arccos a$.

Khi đó nghiệm của phương trình (2) là:

Phương trình$\cos x = \cos \beta^\circ$có các nghiệm là:

3. Phương trình$\tan x = a$   (3)

Điều kiện của phương trình (3): $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Nếu $\alpha$ thoả mãn điều kiện $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ và $\tan \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \arctan a$.

Lúc đó nghiệm của phương trình (3) là:

Phương trình $\tan x = \tan \beta^\circ$ có các nghiệm là:

4. Phương trình $\cot x = a$   (4)

Điều kiện của phương trình (4) là $x \neq k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Nếu $\alpha$ thoả mãn điều kiện $0 < \alpha < \pi$ và $\cot \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \text{arccot } a$.

Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là:

Phương trình $\cot x = \cot \beta^\circ$ có các nghiệm là:

II. Bài tập áp dụng Phương trình lượng giác

Ví dụ 1

Giải các phương trình:

a) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b) $\sin x = \frac{1}{4}$;

c) $\sin(x - 60^\circ) = \frac{1}{2}$;

d) $\sin 2x = -1$.

Lời giải:

a) Vì $-\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ nên:

Vậy phương trình có các nghiệm là:

và

b) Phương trình $\sin x = \frac{1}{4}$ có các nghiệm là:

và

c) Ta có $\frac{1}{2} = \sin 30^\circ$, nên:

Vậy phương trình có các nghiệm là:

và

d) Ta có:

Phương trình có nghiệm là:

hay