Bài 6.4 trang 9 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 6.4 trang 9 Toán 11 KNTT:

Cho x,y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}+y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}$

b) $B=\left ( \frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}} \right )^{\sqrt{3}+1}.\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

a) Rút gọn $A$

Ta chuyển căn thức thành lũy thừa và tìm nhân tử chung có số mũ nhỏ nhất.

• $\sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}}$

• $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

• $\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}$

• $\sqrt[6]{y} = y^{\frac{1}{6}}$

• Số mũ nhỏ nhất chung cho $x$ và $y$ là $\frac{1}{3}$ cho $x$ và $\frac{1}{3}$ cho $y$ (hoặc $\frac{1}{6}$ và $\frac{1}{6}$).

b) Rút gọn $B$

Sử dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ cho số mũ: $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = 3-1 = 2$.

Lời giải chi tiết bài 6.4 trang 9 Toán 11:

a) $A=\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}+y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}$

$=\frac{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{6}}+y^{\frac{1}{6}}}$ $=\frac{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\left ( x^{\frac{1}{6}}+y^{\frac{1}{6}} \right )}{x^{\frac{1}{6}}+t^{\frac{1}{6}}}$ $=x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$

b) $B=\left ( \frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}} \right )^{\sqrt{3}+1}.\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

$=\frac{x^{\sqrt{3}.(\sqrt{3}+1)}}{y^{(\sqrt{3}-1).(\sqrt{3}+1)}}.\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$ $=\frac{x^{3+\sqrt{3}}}{y^2}.\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$ $=\frac{x^{3+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1}}{y^{2+(-2)}}$ $=\frac{x^2}{y^0}=x^2$