Hàm số lượng giác và bài tập áp dụng (Ôn tập cơ bản)

1. Hàm số sin

Hàm số $y = \sin x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và

• $y = \sin x$ là hàm số lẻ.

• $y = \sin x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $2\pi$.

Hàm số $y = \sin x$ nhận các giá trị đặc biệt:

• $\sin x = 0$ khi $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

• $\sin x = 1$ khi $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.

• $\sin x = -1$ khi $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Đồ thị hàm số $y = \sin x$:

2. Hàm số côsin

Hàm số $y = \cos x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và

• $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

• $y = \cos x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $2\pi$.

Hàm số $y = \cos x$ nhận các giá trị đặc biệt:

• $\cos x = 0$ khi $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

• $\cos x = 1$ khi $x = k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.

• $\cos x = -1$ khi $x = (2k + 1)\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Đồ thị hàm số $y = \cos x$:

3. Hàm số tang

Hàm số $y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ có tập xác định là

• $y = \tan x$ là hàm số lẻ.

• $y = \tan x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi$.

Hàm số $y = \tan x$ nhận các giá trị đặc biệt:

• $\tan x = 0$ khi $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

• $\tan x = 1$ khi $x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

• $\tan x = -1$ khi $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Đồ thị hàm số $y = \tan x$:

4. Hàm số côtang

Hàm số $y = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ có tập xác định là

• $y = \cot x$ là hàm số lẻ.

• $y = \cot x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi$.

Hàm số $y = \cot x$ nhận các giá trị đặc biệt:

• $\cot x = 0$ khi $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

• $\cot x = 1$ khi $x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

• $\cot x = -1$ khi $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Đồ thị hàm số $y = \cot x$ (H.4):

5. Bài tập vận dụng

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) $y = \sin 3x$;

b) $y = \cos \frac{2}{x}$;

c) $y = \cos \sqrt{x}$;

d) $y = \sin \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$.

Lời giải:

a) Đặt $t = 3x$, ta được hàm số $y = \sin t$ có tập xác định là $D = \mathbb{R}$. Mặt khác,

nên tập xác định của hàm số $y = \sin 3x$ là $\mathbb{R}$.

b) Ta có $\frac{2}{x} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x \neq 0$. Vậy tập xác định của hàm số $y = \cos \frac{2}{x}$ là:

c) Ta có $\sqrt{x} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x \ge 0$. Vậy tập xác định của hàm số $y = \cos \sqrt{x}$ là:

d) Ta có

Vậy tập xác định của hàm số $y = \sin \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ là $D = [-1; 1)$.

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) $y = \frac{3}{2 \cos x}$;

b) $y = \cot\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$;

c) $y = \frac{\cot x}{\cos x - 1}$;

d) $y = \sqrt{\frac{\sin x + 2}{\cos x + 1}}$.

Lời giải:

a) Hàm số $y = \frac{3}{2 \cos x}$ xác định khi và chỉ khi $\cos x \neq 0$ hay $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là:

b) Hàm số $y = \cot\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ xác định khi và chỉ khi $2x - \frac{\pi}{4} \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$

hay $x \neq \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \cot\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ là:

c) Hàm số $y = \frac{\cot x}{\cos x - 1}$ xác định

Tập $\{k2\pi, k \in \mathbb{Z}\}$ là tập con của tập $\{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$ (ứng với các giá trị $k$ chẵn). Vậy tập xác định của hàm số $\frac{\cot x}{\cos x - 1}$ là:

d) Biểu thức $\frac{\sin x + 2}{\cos x + 1}$ luôn không âm và nó có nghĩa khi $\cos x + 1 \neq 0$, hay $\cos x \neq -1$. Vậy ta phải có $x \neq (2k + 1)\pi, k \in \mathbb{Z}$, do đó tập xác định của hàm số $y = \sqrt{\frac{\sin x + 2}{\cos x + 1}}$ là: