Hotline 0939 629 809

Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và bài tập áp dụng - Toán 11

19:48:2106/12/2018

Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là một trong những nội dung khá quan trọng mà các em cần hiểu rõ để vận dụng, đây cũng là một trong những nội dung thường có trong đề thi THPT quốc gia

Để các em hiểu rõ hơn về hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp chúng ta cùng ôn lại kiến thức lý thuyết và vận dụng vào các bài tập cụ thể trong bài viết này nhé.

hoán vị chỉnh hợp tổ hợp và bài tập áp dụng

I. Tóm tắt lý thuyết hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

1. Quy tắc đếm

a) Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B . Có cách thực hiện phương án A m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n+m cách.

b) Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn  A và  B . Công đoạn  A có thể làm theo cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách.

2. Hoán vị

+ Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (n≥1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

+ Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: Pn=n!=n(n-1)(n-2)...1.     

+ Chú ý: 0! = 1

* Ví dụ 1. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.

° Lời giải: Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.

⇒ Vậy có P5 = 5! = 120 cách sắp.

* Ví dụ 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.

° Lời giải:

- Gọi A=a1a2a3a4avới a10 và a1a2a3a4a5 phân biệt là số cần lập.

+ Bước 1: chữ số a10 nên có 4 cách chọn a1.

+ Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách.

⇒ Vậy có 4.24 = 96 số.

3. Chỉnh hợp

+ Định nghĩa: Cho một tập A gồm n phần tử (n≥1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

+ Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1≤k≤n) là:

* Ví dụ 3. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.

° Lời giải: 

- Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7.

⇒ vậy có tổng cộng 2520 cách sắp.

* Ví dụ 4. Từ tập hợp X={0;1;2;3;4;5} có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.

° Lời giải:

- Gọi A=a1a2a3a4với a10 và a1a2a3a4, phân biệt là số cần lập

+ Bước 1: chữ số a10 nên có 5 cách chọn a1.

+ Bước 2: chọn 3 trong 5 chữ số còn lại để sắp vào 3 vị trí chính là chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử .

 

⇒ vậy ta có: 5=300 số

4. Tổ hợp

Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n≥1). Mỗi cách chọn ra k (n ≥ k ≥ 1) phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

+ Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1≤k≤n) là:

* Ví dụ 5. Có 10 cuốn sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách.

° Lời giải: Mỗi cách chọn ra 4 trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10. vậy ta có:

⇒ Vậy có 210 cách.

II. Bài tập áp dụng Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

* Bài tập 1. Trong một trường, khối 11 có 308 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh khối 11 đi tham dự cuộc thi “huyền thoại đường Hồ Chí Minh trên biển” cấp huyện?

° Lời giải:

Trường hợp 1. Chọn 1 học sinh nam.  có 308 cách

Trường hợp 2. Chọn 1 học sinh nữ. Có 325 cách

Vậy, có 308 + 325 = 633 cách chọn một học sinh tham dự cuộc thi trên.

* Bài tập 2. Hỏi có bao nhiêu đa thức bậc ba.

P(x) =ax3+bx2+cx+d mà ác hệ số a, b, c, d thuộc tập {-3,-2,0,2,3}. Biết rằng.

a) Các hệ số tùy ý;

b) Các hệ số đều khác nhau.

° Lời giải:

a) Có 4 cách chọn hệ số a (vì a≠0). Có 5 cách chọn hệ số b, 5 cách chọn hệ số c, 4 cách chọn hệ số d. Vậy có. 4.5.5.5 =500 đa thức.

b) Có 4 cách chọn hệ số a (a≠0).

- Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b.

- Khi đã chọn a và b, có 3 cách chọn c.

- Khi đã chọn a, b và c, có 2 cách chọn d.

Theo quy tắc nhân ta có. 4.4.3.2=96 đa thức.

* Bài tập 3. Một lớp trực tuần cần chọn 2 học sinh kéo cờ trong đó có 1 học sinh  nam, 1 học sinh  nữ. Biết lớp có 25 nữ và 15 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh kéo cờ nói trên.

° Lời giải:

Chọn học sinh nam ta có 15 cách chọn

Ứng với 1 học sinh  nam, chọn 1 học sinh nữ có 25 cách chọn

Vậy số cách chọn là 15. 25=375 cách.

* Bài tập 4. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ra số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.

a) Hỏi lập được bao nhiêu số?

b) Có bao nhiêu số lẻ?

° Lời giải:

a) Số tự nhiên có bốn chữ số dạng là: abcd

Có 7 cách chọn a

Có 6 cách chọn b

Có 5 cách chọn c

Có 4 cách chọn d

Vậy có 7.6.5.4 = 840 số

b) Cách tính các số lẻ:

  • Cách 1. Số tự nhiên lẻ có bốn chữ số dạng:abcd  

Vì số lẻ nên tận cùng là số lẻ nên d có 4 cách chọn.

Có 6 cách chọn a

Có 5 cách chọn b

Có 4 cách chọn c

Vậy có 4.6.5.4 = 480 số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau

  • Cách 2. Số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau dạng: abc1 hoặc abc3 hoặc abc5 hoặc abc7

+ Xét số dạng abc1

chọn a có 6 cách

chọn b có 5 cách

chọn c có 4 cách

Vậy có 6.5.4 = 120 số lẻ dạng abc1

+ Tương tự các trường hợp còn lại. Vậy có 4.120 = 480 số lẻ có bốn chữ số được lập từ các số đã cho.

* Bài tập 5. Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. lập ra số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.

a) Hỏi lập được bao nhiêu số.

b) Có bao nhiêu số chia hết cho 5.

° Lời giải:

a) Số tự nhiên có 3 chữ số dạng: abc

Có 6 cách chọn a vì a≠0.

Có 6 cách chọn b

Có 5 cách chọn c

Vậy có 6.6.5 = 180 số

b) Số tự nhiên có 3 chữ số và chia hết cho 5 dạng: ab0 hoặc ab5

+ Xét số dạng ab0

Có 6 cách chọn a và 5 cách chọn b. Vậy có 6.5 = 30 số

+ Xét số dạng ab5

Có 5 cách chọn a và 5 cách chọn b. Vậy có 5.5 = 25 số

⇒ Tổng số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5 là 30+25=55 số

* Bài tập 6. Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm tám người được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

° Lời giải:

Mỗi cách xếp 8 người thành một hàng dọc là một hoán vị của 8 phần tử.

Vậy số cách xếp 8 người thành hàng dọc là:  8!  = 8.7.6.5.4.3.2 = 40320 (cách xếp)

* Bài tập 7. Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 5 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang. Mỗi tín hiệu được xác định bởi số lá cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có có thể tạo bao nhiêu tín hiệu nếu.

a) Cả 5 lá cờ đều được dùng;

b) Ít nhất một lá cờ được dùng.

° Lời giải:

a) Nếu dùng cả 5 lá cờ thì một tín hiệu chính là một hoán vị của 5 lá cờ.

Vậy có: 5! =120 tín hiệu được tạo ra.

b) Mỗi tín hiệu được tạo bởi k lá cờ là một chỉnh hợp chập k của 5 phần tử. Theo quy tắc cộng, có tất cả.

 (tín hiệu).

* Bài tập 8. Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.

° Lời giải:

Để xác định số cách xếp ta phải làm theo các công đoạn như sau.

  1. Chọn 3 nam từ 6 nam. có C36 cách.
  2. Chọn 2 nữ từ 5 nữ. có C25 cách.
  3. Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau. có 5! Cách.

⇒ Từ đó ta có số cách xếp là: 

* Bài tập 9. Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thầy P và cô Q là vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Có bao nhiêu cách lập sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai.

° Lời giải:

♦ TH1. hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có thầy P nhưng không có cô Q. Khi đó ta cần chọn 2 trong 6 thầy còn lại (trừ thầy P)  rồi chọn 2 trong 4 cô (trừ cô Q)

      Có C26 . C24 = 90 (vì C26 = 15, C24 = 6)

♦ TH2. hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có cô Q nhưng không có thầy P. Khi đó ta cần chọn 3 trong 6 thầy còn lại (trừ thầy P) rồi chọn 1 trong 4 cô (trừ cô Q)

      Có C36 . C14 = 80 (vì C36 = 20, C14 = 4)

 Vậy, có C26 . C24 + C36 . C14 = 90 + 80 = 170 cách lập hội đồng coi thi.       

>> Nhị thức Newton và bài tập áp dụng

Hy vọng với phần ôn tập chi tiết về hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp có bài tập áp dụng ở trên sẽ giúp ích cho các em, mọi thắc mắc các em có thể để lại bình luận dưới bài viết để được hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Đánh giá & nhận xét

captcha
...
Tố như
Từ tập hợp a lập các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau sau đó lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên tính xác suất sao cho dãy số tự nhiên chia hết cho 4 A(0,1,2,4,5,8,9)
Trả lời -
6 ngày trước
...
Admin
Chào em, trước tiên em cần lập số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từ tập A (đây là không gian xác suất); sau đó tìm các số có 5 chữ số khác nhau mà chia hết cho 4 (lưu ý: số chia hết cho 4 là số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 ví dụ: 112 chia hết cho 4 vì 12 chia hết cho 4), từ đó tính được xác suất.
3 ngày trước
captcha
...
nguyễn thị hồng nhung
bài 9 giải sai rồi ạ
Trả lời -
26/11/2019 - 20:28
...
Admin
Chào em, em chỉ rõ phần nào nhé!
28/11/2019 - 22:29
captcha
...
LDT
từ các số 1,3,5,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số (không nhất thiết phải khác nhau)
Trả lời -
21/11/2019 - 04:45
...
Admin
Chào em, gọi số đó là abcd, như vậy chọn a, b, c hay d đều có 4 cách chọn, nên có 4^4 = 256 số có 4 chữ số.
22/11/2019 - 15:55
captcha
...
Bảo Ngọc
từ dãy ( 0;1;2;3;4;6) thành lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó
Trả lời -
19/11/2019 - 14:58
...
Admin
Chào em, dạng này gọi 3 chữ số có dạng abc, như vậy chọn a ta có 5 cách (số 0 không đứng đầu), chọn b có 5 cách chọn c có 4 cách, => tổng số cách là 5.5.4 = 100 số có 3 chữ số.
20/11/2019 - 23:27
captcha
...
Anh Thư
Ở đề 9 yêu cầu chọn NGẪU NHIÊN 5 NGƯỜI vậy tổng k=5 mà sao lời trong giải tổng k chỉ có 4 và đễ bài cũng yêu cầu phải có 3 THẦY, 2 CÔ vậy đáng lẽ ra TH1 : chọn 6C3( vì loại thầy P).5C2=200 cách TH2: 7C3.4C2( loại cô Q)= 210 cách => Có 200+210=410 cách chứ nhỉ?
Trả lời -
11/11/2019 - 02:04
...
Admin
Chào em, Ad giải thích cụ thể cho em như sau: từ 7 thầy và 5 cô, bài toán yêu cầu chọn 5 người gồm 3 thầy và 2 cô để thành lập hội đồng, tuy nhiên trong đó phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai, như vậy ta mới chia ra 2 trường hợp: Trường hợp 1: có thầy P không có cô Q, như vậy chọn thêm 2 thầy trong 6 thầy còn lại là C2_6 (thầy) và chọn thêm 2 cô trong 4 cô (có thầy P nên không có cô Q) là C2_4 (cô); Trường hợp 2: Có cô Q và không có thầy P; như vậy chọn thêm 1 cô trong 4 cô còn lại là C1_4; và 3 thầy trong 6 thầy (có cô Q nên ko được chọn thầy P nữa) là C3_6 như vậy ta mới có kết quả như bài viết.
11/11/2019 - 21:37
...
nguyễn thị hồng nhung
anh thư giải dúng rồi
26/11/2019 - 20:32
captcha
...
Anh Thư
Ở câu 9, đề kêu phải chọn ra 5 người suy ra tổng k của nam và nữ thì phải là 5 nhưng trong lời giải thì tổng k của nam và nữ chỉ có bằng 4, nếu ko chọn thầy P hoặc cô Q thì mình vẫn thừa người để chọn cho k bằng 5 mà nhỉ? Vậy phần này là sao vậy mọi người em hơi khó hiểu ở phần này.
Trả lời -
11/11/2019 - 01:45
...
Admin
Chào em, Ad giải thích cụ thể cho em như sau: từ 7 thầy và 5 cô, bài toán yêu cầu chọn 5 người gồm 3 thầy và 2 cô để thành lập hội đồng, tuy nhiên trong đó phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai, như vậy ta mới chia ra 2 trường hợp: Trường hợp 1: có thầy P không có cô Q, như vậy chọn thêm 2 thầy trong 6 thầy còn lại là C2_6 (thầy) và chọn thêm 2 cô trong 4 cô (có thầy P nên không có cô Q) là C2_4 (cô); Trường hợp 2: Có cô Q và không có thầy P; như vậy chọn thêm 1 cô trong 4 cô còn lại là C1_4; và 3 thầy trong 6 thầy (có cô Q nên ko được chọn thầy P nữa) là C3_6 như vậy ta mới có kết quả như bài viết.
11/11/2019 - 21:34
captcha
...
Nguyễn Thanh Huyền
bài 9 đề ghi nhất thiết phải có tại sao không phải là C15 mà là C11 vậy
Trả lời -
30/10/2019 - 20:40
...
Admin
C15 và C11 chỗ nào em, em hỏi cụ thể Thầy sẽ hướng dẫn chi tiết nếu chưa hiểu nhé, chúc em học tốt!
01/11/2019 - 08:13
captcha
...
Trần Tình
bài tập 9 sao khó hiểu v ạ rõ ràng nói chọn ra 3 thầy nhưng mà lại là 6C2 là sao ạ
Trả lời -
17/10/2019 - 21:51
...
Admin
Chào em, ý em hỏi là ở TH2 phải không, Ad xin điều chỉnh lại TH2 nha: hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có cô Q nhưng không có thầy P. Khi đó ta cần chọn 3 trong 6 thầy còn lại (trừ thầy P) rồi chọn 1 trong 4 cô (trừ cô Q) Có C3,6 . C1,4 = 80, như vậy từ 2 trường hợp ta có tổng cộng: 60+80=140 cách lập hội đồng thi. Cám ơn em đã có ý kiến phản hồi.
19/10/2019 - 21:09
...
tran thi
nhưng TH1 bấm ra 90 mà các bạn
26/10/2019 - 08:56
...
Yami
TH1 3 thầy, 2 cô. Vì thầy P bắt buộc phải có mặt nên chọn thầy P trước là 1C1, bây giờ còn lại 2 người cần chọn, mà đã lấy thầy P ra từ 7 người rồi thì chỉ còn 6 người, tức 6C2. Đến chọn giáo viên nữ,cô Q nằm trong 5 giáo viên nữ, không có cô Q trong hội đồng chấm thi thì chỉ còn 4 người. Theo đề bài chọn 2 người nên là 4C2. Vậy nên số cách chọn thảo mãn trường hợp 1: 1C1.6C2.4C2. TH2 cũng tương tự. Mấy bài tổ hợp - xác suất như vậy cần tư duy tốt mới làm đc
24/10/2019 - 13:45
...
giang xuan
minh cung thay kho hieu that luon i @@
19/10/2019 - 21:09
captcha
Xem thêm bình luận
8 trong số 8
Tin liên quan