Nhị thức Niu Tơn (Newton) và bài tập áp dụng (chi tiết, dễ hiểu)

Trong phần này chúng ta cùng ôn lại về nhị thức Newton (Niu Tơn) với một số bài tập áp dụng cơ bản để các em hiểu rõ hơn và vận dụng.

I. Tóm tắt lý thuyết về nhị thức Newton

1. Tổ hợp

• Định nghĩa: Giả sử tập $A$ có $n$ phần tử ($n \ge 1$). Mỗi tập con gồm $k$ phần tử của $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.

• Kí hiệu $C_n^k$ là số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phẩn tử ($0 \le k \le n$). Ta có định lí: Số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử ($0 \le k \le n$) là:

  $$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}$$

Tính chất tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử $C_n^k$:

• Tính chất 1:

  $$C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k} \quad (0 \le k \le n)$$

• Tính chất 2 (Công thức Pascal):

  $$C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k} = C_{n}^{k}$$

2. Công thức nhị thức Niu Tơn

• $\forall n \in \mathbb{N}^*$, với mọi cặp số $(a,b)$ ta có:

  $$(a+b)^{n} = C_{n}^{0}a^{n} + C_{n}^{1}a^{n-1}b + ... + C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k} + ... + C_{n}^{n}b^{n}$$ $$= \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$$

II. Bài tập áp dụng tổ hợp và nhị thức Newton

Bài tập 1. Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

• Lời giải:

  Để xác định số cách xếp ta phải làm theo các công đoạn như sau:

  • Chọn 3 nam từ 6 nam: có $C_6^3$ cách.

  • Chọn 2 nữ từ 5 nữ: có $C_5^2$ cách.

  • Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau: có $5!$ cách.

    Từ đó ta có số cách xếp là: $C_6^3 \cdot C_5^2 \cdot 5! = 24000$ cách.

Bài tập 2.Trong khai triển của$(1 + ax)^n$ta có số hạng thứ hai là$24x$, số hạng thứ ba là$252x^2$. Hãy tìm$a$và$n$.

• Lời giải:

  Ta có:

   
  $$(1+ax)^{n} = \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}x^{k}$$

  Theo bài ra ta có:

  $$\begin{cases} C_{n}^{1} \cdot a = 24 \\ C_{n}^{2} \cdot a^2 = 252 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} n \cdot a = 24 \\ \frac{n(n-1)a^{2}}{2} = 252 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 3 \\ n = 8 \end{cases}$$

Bài tập 3. Tìm hệ số của $x^5$ trong khai triển của biểu thức:

• Lời giải:

  Hệ số của $x^5$ trong khai triển của biểu thức $(x + 1)^4 + (x + 1)^5 + (x + 1)^6 + (x + 1)^7$ là:

  $$C_{5}^{5} + C_{6}^{5} + C_{7}^{5} = 1 + \frac{6!}{5!1!} + \frac{7!}{5!2!} = 28$$

Bài tập 4. Tìm hệ số của $x^{31}$ trong khai triển: $\left(x + \frac{1}{x^{2}}\right)^{40}$

• Lời giải:

  $$\left(x + \frac{1}{x^{2}}\right)^{40} = \sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k} \cdot x^{k} \left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{40-k} = \sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k}x^{3k-80}$$

  Hệ số của $x^{31}$ là $C_{40}^{k}$ với $k$ thoả mãn điều kiện:

  $$3k - 80 = 31 \Leftrightarrow k = 37$$

  Vậy hệ số của $x^{31}$ là:

  $$C_{40}^{37} = C_{40}^{3} = \frac{40 \cdot 39 \cdot 38}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 9880$$

Bài tập 5. Trong khai triển của $(x+a)^3(x-b)^6$, hệ số $x^7$ là $-9$ và không có số hạng chứa $x^8$. Tìm $a$ và $b$.

• Đ/S: Tìm số hạng chứa $x^7$, và số hạng chứa $x^8$.

  Dựa vào đề ra để giải hệ phương trình được: $a = 2; b = 1$ hoặc $a = -2; b = 1$.