[Đầy đủ] Các dạng toán về hàm số lượng giác và bài tập Toán 11

Bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng toán về hàm số lượng giác. Ở mỗi dạng toán, HayHọcHỏi sẽ đưa ra các ví dụ minh họa kèm hướng dẫn giải chi tiết, giúp các em dễ dàng tiếp thu và tự tin vận dụng khi gặp các dạng bài tập tương tự.

I. Lý thuyết về Hàm số lượng giác

1. Hàm số $\sin$: $y = \sin x$

• Tập xác định: $\mathbb{R}$ và $-1 \le \sin x \le 1, \forall x \in \mathbb{R}$.

• $y = \sin x$ là hàm số lẻ.

• $y = \sin x$ là hàm số tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$.

• Các giá trị đặc biệt:

  • $\sin x = 0$ khi $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$

  • $\sin x = 1$ khi $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

  • $\sin x = -1$ khi $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

• Đồ thị hàm số $y = \sin x$ có dạng:

2. Hàm số $\cos$: $y = \cos x$

• Tập xác định: $\mathbb{R}$ và $-1 \le \cos x \le 1, \forall x \in \mathbb{R}$.

• $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

• $y = \cos x$ là hàm số tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$.

• Các giá trị đặc biệt:

  • $\cos x = 0$ khi $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

  • $\cos x = 1$ khi $x = k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

  • $\cos x = -1$ khi $x = (2k + 1)\pi, k \in \mathbb{Z}$

• Đồ thị hàm số $y = \cos x$ có dạng:

3. Hàm số $\tan$

• Hàm số: $y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

• $y = \tan x$ là hàm số lẻ.

• $y = \tan x$ là hàm số tuần hoàn với chu kỳ $\pi$.

• Các giá trị đặc biệt:

  • $\tan x = 0$ khi $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$

  • $\tan x = 1$ khi $x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

  • $\tan x = -1$ khi $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

• Đồ thị hàm số $y = \tan x$ có dạng:

4. Hàm số $\cot$

• Hàm số: $y = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \}$.

• $y = \cot x$ là hàm số lẻ.

• $y = \cot x$ là hàm số tuần hoàn với chu kỳ $\pi$.

• Các giá trị đặc biệt:

  • $\cot x = 0$ khi $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

  • $\cot x = 1$ khi $x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

  • $\cot x = -1$ khi $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

• Đồ thị hàm số $y = \cot x$ có dạng:

II. Các dạng toán về hàm số lượng giác

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

Phương pháp: Tìm điều kiện của biến số $x$ để hàm số có nghĩa. Đặc biệt chú ý đến điều kiện xác định đặc thù của từng hàm số lượng giác (mẫu số khác $0$, biểu thức trong căn không âm,...).

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$

b) $y = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}$

c) $y = \tan\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

d) $y = \cot\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$

Lời giải:

a) Hàm số $y = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$ xác định:

$\Leftrightarrow \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k\pi, (k \in \mathbb{Z})$.

• Kết luận: Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$.

b) Hàm số $y = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}$ xác định:

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x} \ge 0 \\ 1 - \cos x \neq 0 \end{cases} \quad (1)$

Vì $-1 \le \cos x \le 1, \forall x \in \mathbb{R}$, nên $\begin{cases} 1 + \cos x \ge 0 \\ 1 - \cos x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x} \ge 0, \forall (1 - \cos x) \neq 0$.

Do đó, $(1) \Leftrightarrow 1 - \cos x \neq 0 \Leftrightarrow \cos x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq k2\pi, (k \in \mathbb{Z})$.

• Kết luận: Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{k2\pi, k \in \mathbb{Z}\}$.

c) Hàm số $y = \tan\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ xác định:

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x \neq \frac{5\pi}{6} + k\pi$.

• Kết luận: Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

d) Hàm số $y = \cot\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ xác định:

$\Leftrightarrow x + \frac{\pi}{6} \neq k\pi \Leftrightarrow x \neq -\frac{\pi}{6} + k\pi, (k \in \mathbb{Z})$.

• Kết luận: Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

Dạng 2: Xác định hàm số lượng giác là hàm chẵn hay hàm lẻ

Phương pháp: Để xác định hàm số $y = f(x)$ là hàm chẵn hay lẻ, ta thực hiện các bước:

• Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm $y = f(x)$.

• Bước 2: Chứng minh tập $D$ có tính đối xứng: Với mọi $x \in D$, ta có $-x \in D$.

• Bước 3: Tính $f(-x)$ và so sánh với $f(x)$:

  • Nếu $f(-x) = f(x), \forall x \in D \Rightarrow$ Hàm số chẵn.

  • Nếu $f(-x) = -f(x), \forall x \in D \Rightarrow$ Hàm số lẻ.

  • Lưu ý: Để chứng minh hàm số không chẵn cũng không lẻ, ta chỉ cần chỉ ra một giá trị $x \in D$ sao cho $f(-x) \neq f(x)$ và $f(-x) \neq -f(x)$.

Ví dụ 1: Khảo sát tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) $y = \tan x + 3\sin x$

b) $y = 2\cos x + \sin^2 x$

c) $y = 5\sin 2x \cdot \cos 3x$

d) $y = 2\sin x + 3\cos x$

Lời giải:

a) $y = f(x) = \tan x + 3\sin x$

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\}$.

• Với $x \in D$, ta luôn có $-x \in D$.

• Ta có: $f(-x) = \tan(-x) + 3\sin(-x) = -\tan x - 3\sin x = -(\tan x + 3\sin x) = -f(x), \forall x \in D$.

  $\Rightarrow$ $y = \tan x + 3\sin x$ là hám số lẻ.

b) $y = f(x) = 2\cos x + \sin^2 x$

• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

• Với mọi $x \in D$, ta có $-x \in D$.

• Ta có: $f(-x) = 2\cos(-x) + \sin^2(-x) = 2\cos x + [-\sin x]^2 = 2\cos x + \sin^2 x = f(x), \forall x \in D$.

  $\Rightarrow$ $y = 2\cos x + \sin^2 x$ là hàm số chẵn.

c) $y = f(x) = 5\sin 2x \cdot \cos 3x$

• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$. Với mọi $x \in D$, ta có $-x \in D$.

• Ta có: $f(-x) = 5\sin(-2x) \cdot \cos(-3x) = -5\sin 2x \cdot \cos 3x = -f(x), \forall x \in D$.

  $\Rightarrow$ $y = 5\sin 2x \cdot \cos 3x$ là hàm số lẻ.

d) $y = f(x) = 2\sin x + 3\cos x$

• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$. Với mọi $x \in D$, ta có $-x \in D$.

• Xét tại $x = \frac{\pi}{4} \in D$, ta có: $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\sin\frac{\pi}{4} + 3\cos\frac{\pi}{4} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

• Tại $x = -\frac{\pi}{4}$, ta có: $f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 3\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

  Dễ thấy $f\left(-\frac{\pi}{4}\right) \neq f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ và $f\left(-\frac{\pi}{4}\right) \neq -f\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

  $\Rightarrow$ Hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Dạng 3: Hàm số tuần hoàn, xác định chu kỳ tuần hoàn

Phương pháp: * Để chứng minh $y = f(x)$ (có tập xác định $D$) tuần hoàn, cần tìm số $T \neq 0$ sao cho:

1. $x + T \in D$ và $x - T \in D, \forall x \in D$.

2. $f(x + T) = f(x), \forall x \in D$.

• Số dương $T$ nhỏ nhất thỏa mãn hai tính chất trên chính là chu kỳ tuần hoàn của hàm số.

Ví dụ 1: Chứng minh hàm số $y = \sin 2x$ tuần hoàn với chu kỳ $\pi$.

Lời giải: * Hàm số $y = f(x) = \sin 2x$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• Rõ ràng $x + \pi \in D, x - \pi \in D, \forall x \in D$.

• Ta có: $f(x + \pi) = \sin[2(x + \pi)] = \sin(2x + 2\pi) = \sin 2x = f(x)$.

  $\Rightarrow$ Hàm số $y = \sin 2x$ là hàm số tuần hoàn.

• Tìm chu kỳ: Giả sử có số dương $a$ ($0 < a < \pi$) sao cho $f(x + a) = f(x), \forall x \in D$, tức là $\sin[2(x + a)] = \sin 2x, \forall x \in D$.

  Chọn $x = 0$, ta có: $\sin 2a = 0 \Rightarrow 2a = k\pi \Rightarrow a = \frac{k\pi}{2}, (k \in \mathbb{Z})$.

  Vì $0 < a < \pi$ nên $0 < \frac{k\pi}{2} < \pi \Rightarrow 0 < k < 2 \Rightarrow k = 1 \Rightarrow a = \frac{\pi}{2}$.

• Thử lại: Với $a = \frac{\pi}{2}$, ta có $\sin\left[2\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\right] = \sin(2x + \pi) = -\sin 2x$. Điều này không bằng $\sin 2x$ với mọi $x$ (ví dụ tại $x = \frac{\pi}{4}$).

  Vậy $a = \frac{\pi}{2}$ không phải chu kỳ. Suy ra chu kỳ nhỏ nhất thỏa mãn là $\pi$.

Ví dụ 2: Chứng minh hàm số $y = \tan\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$ là hàm số tuần hoàn và tìm chu kỳ của nó.

Lời giải: * Hàm số $y = f(x) = \tan\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$.

• TXĐ: $2x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow 2x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, (k \in \mathbb{Z})$.

  $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

• Ta có $x + \frac{\pi}{2} \in D$ và $x - \frac{\pi}{2} \in D, \forall x \in D$.

• Lại có: $f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \tan\left[2\left(x + \frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{4}\right] = \tan\left(2x + \pi + \frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = f(x)$.

  $\Rightarrow$ Hàm số tuần hoàn.

• Chu kỳ: Tương tự ví dụ trên, giả sử có $0 < a < \frac{\pi}{2}$ sao cho $\tan\left[2(x + a) + \frac{\pi}{4}\right] = \tan\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$.

  Chọn $x = -\frac{\pi}{8}$, ta có $\tan 2a = 0 \Rightarrow 2a = k\pi \Rightarrow a = \frac{k\pi}{2}$.

  Vì $0 < \frac{k\pi}{2} < \frac{\pi}{2} \Rightarrow 0 < k < 1$ (vô lý vì $k \in \mathbb{Z}$).

  $\Rightarrow$ Không tồn tại $a$ nhỏ hơn. Vậy chu kỳ tuần hoàn là $T = \frac{\pi}{2}$.

Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số, Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến

Phương pháp: Vẽ đồ thị hàm số, sau đó căn cứ vào chiều đi lên/đi xuống của đồ thị từ trái qua phải để suy ra khoảng đồng biến/nghịch biến.

Ví dụ 1: Dựa vào đồ thị của hàm số $y = \sin x$, vẽ đồ thị của hàm số $y = |\sin x|$.

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số $y = \sin x$

Ta có hàm số:

$\Rightarrow$ Từ đồ thị hàm số $y = \sin x$, ta giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành ($\sin x > 0$) và lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành lên trên qua trục $Ox$.

⇒ Ta được đồ thị hàm số $y = |\sin x|$ là phần nét liền hình phía dưới.

Ví dụ 2: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = |\sin x|$ trên đoạn $[0; 2\pi]$.

Lời giải:

Quan sát đồ thị hàm số $y = |\sin x|$ trên đoạn $[0; 2\pi]$ (phần đồ thị đi lên là đồng biến, đi xuống là nghịch biến), ta có:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng: $\left(0; \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$

• Hàm số nghịch biến trên các khoảng: $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$

Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN)

Phương pháp: Vận dụng linh hoạt tính chất chặn của các hàm số lượng giác cơ bản:

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các hàm số sau:

a) $y = 5\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$

b) $y = \sqrt{3 + \cos 2x} - 6$

Lời giải:

a) Ta luôn có: $-1 \le \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \le 1$

$\Leftrightarrow -5 \le 5\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \le 5$

$\Leftrightarrow -4 \le 5\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1 \le 6$

• GTNN của $y = -4$, đạt được khi $\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = -1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi, (k \in \mathbb{Z})$.

• GTLN của $y = 6$, đạt được khi $\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi, (k \in \mathbb{Z})$.

b) Ta luôn có: $-1 \le \cos 2x \le 1$

$\Leftrightarrow 2 \le 3 + \cos 2x \le 4$

$\Leftrightarrow \sqrt{2} \le \sqrt{3 + \cos 2x} \le 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{2} - 6 \le \sqrt{3 + \cos 2x} - 6 \le -4$

• GTNN của $y = \sqrt{2} - 6$, đạt được khi $\cos 2x = -1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, (k \in \mathbb{Z})$.

• GTLN của $y = -4$, đạt được khi $\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi, (k \in \mathbb{Z})$.

III. Bài tập tự luyện

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự thử sức với các bài tập vận dụng dưới đây nhé:

Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \frac{1 - 2\sin x}{1 + \cos 2x}$

b) $y = \frac{\tan 2x - 1}{\sqrt{1 + \sin x} + 1}$

c) $y = \frac{3\cos 4x - 3}{\sqrt{2 - 2\cos x} - 2}$

Bài tập 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số:

a) $y = \sin x + 3\cot 2x$

b) $y = \frac{\cos 2x}{2 + \tan^2 3x}$

c) $y = \cos 3x + \cot 2x$

Bài tập 3: Chứng minh hàm số sau tuần hoàn với chu kỳ $T$ đã cho:

a) $y = \sin 3x$, với $T = \frac{2\pi}{3}$

b) $y = |\cos 2x|$, với $T = \frac{\pi}{2}$

c) $y = |\cos x| + |\sin x|$, với $T = \frac{\pi}{2}$ (Gợi ý: Bình phương biểu thức để rút gọn)

Bài tập 4: Vẽ đồ thị của hàm số và xác định khoảng đồng biến, nghịch biến:

a) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$

b) $y = \cos(|x|)$

Bài tập 5: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a) $y = 2 - \sqrt{4 + 2\sin 5x}$

b) $y = \sin^4 x + \cos^4 x$