Giải bài 6 trang 52 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số (u_n) với u_n = 0,3n + 5 với mọi n ≥ 1.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Chứng minh $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng: Ta xét hiệu $u_{n+1} - u_n$. Nếu kết quả là một hằng số, thì đây là cấp số cộng với công sai $d$ chính là hằng số đó.

2. Xác định các yếu tố cần thiết: Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.

3. Áp dụng công thức tính tổng: Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng:

   $$S_n = \frac{n}{2}(2u_1 + (n-1)d)$$

   Hoặc: 

   $$S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$$

   để tính S₁₀₀​.

Lời giải chi tiết:

Ta có: u_n+1 = 0,3.(n + 1) + 5 = 0,3n + 5,3

Xét hiệu u_n+1 – u_n = 0,3n + 5,3 – 0,3n – 5 = 0,3.

Vậy: (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 5,3 và công sai d = 0,3.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng u_n là:

 u_n = 5,3 + (n – 1).0,3

⇒ u₁₀₀ = 5,3 + (100 – 1).0,3 = 35.

Vậy tổng của 100 số hạng đầu của dãy số là: