Cách giải phương trình lượng giác có chứa tham số m - Toán 11 chuyên đề

Để không bị lạc giữa rừng sin, cos và tham số, các em cần nắm vững hai "vũ khí" hạng nặng sau đây.

I. Các phương pháp giải chủ đạo

1. Phương pháp Tam thức bậc hai

Phương pháp này áp dụng khi phương trình lượng giác có thể đưa về dạng đại số bậc hai qua việc đặt ẩn phụ.

• Bước 1: Đặt ẩn phụ $t = h(x)$ (ví dụ: $t = \sin x, t = \cos x, t = \tan x \dots$).

• Bước 2: Tìm miền giá trị của $t$ dựa trên điều kiện của $x$. Gọi miền này là $D_1$.

• Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về dạng tam thức bậc hai:

  $$f(m, t) = at^2 + bt + c = 0 \quad (**)$$

• Bước 4: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai (như $\Delta$, định lý Vi-ét hoặc so sánh nghiệm với các đầu mút của $D_1$).

• Bước 5: Kết luận giá trị của $m$.

2. Phương pháp Đạo hàm (Hàm số)

Đây là cách làm hiện đại, trực quan và cực kỳ mạnh mẽ, đặc biệt khi $m$ có thể cô lập được.

• Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng cô lập tham số: $f(x) = m$. Sau khi đặt ẩn phụ, ta có dạng $G(t) = m$.

• Bước 2: Tìm miền giá trị $D_1$ của $t$.

• Bước 3: Lập Bảng biến thiên (BBT) của hàm số $G(t)$ trên miền $D_1$.

• Bước 4: Biện luận: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đường thẳng $y = m$ và đồ thị hàm số $y = G(t)$. Phương trình có nghiệm khi $m$ nằm trong khoảng giá trị (từ cực tiểu đến cực đại) của $G(t)$.

Lưu ý đặc biệt: Với phương trình dạng cổ điển $a\sin x + b\cos x = c$, điều kiện có nghiệm cực nhanh là: $a^2 + b^2 \ge c^2$.

II. Giải và biện luận qua các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm

Lời giải:

Ta biến đổi phương trình bằng công thức hạ bậc và nhân đôi:

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

Kết luận: Vậy với $m \in \left[ \frac{1 - \sqrt{10}}{2}; \frac{1 + \sqrt{10}}{2} \right]$ thì phương trình có nghiệm.

Ví dụ 2: Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm $x \in (0; \pi/4)$

Lời giải:

Với $x \in (0; \pi/4)$, ta có $\cos x \neq 0$. Chia cả hai vế cho $\cos^2 x$ và sử dụng công thức $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$, phương trình trở thành:

Đặt $t = \tan x$. Vì $x \in (0; \pi/4)$ nên $t \in (0; 1)$. Ta có phương trình:

Cách 1: Sử dụng tam thức bậc 2

• Trường hợp 1: $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2$.

  Khi đó (***) trở thành: $-4t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1/2 \in (0; 1)$. Vậy $m = 2$ thỏa mãn.

• Trường hợp 2: $m \neq 2$. Phương trình có nghiệm $t \in (0; 1)$ khi:

  • TH 1.1: Một nghiệm thuộc $(0; 1)$: $f(0).f(1) < 0 \Leftrightarrow (2m - 2)(3m - 8) < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 8/3$.

  • TH 1.2: Hai nghiệm đều thuộc $(0; 1)$:

    $$\begin{cases} \Delta' \ge 0 \\ (m - 2)f(1) > 0 \\ (m - 2)f(0) > 0 \\ 0 < \frac{S}{2} < 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -2m^2 + 6m \ge 0 \\ (m - 2)(3m - 8) > 0 \\ (m - 2)(2m - 2) > 0 \\ 0 < \frac{2}{m - 2} < 1 \end{cases}$$

    Giải hệ trên không tìm được giá trị $m$ phù hợp.

Kết luận theo Cách 1: $1 < m < 8/3$.

Cách 2: Phương pháp khảo sát hàm số (Đạo hàm)

Từ (***), cô lập $m$:

Xét $G(t)$ trên $(0; 1)$: $G'(t) = \frac{-4t^2 + 4t + 8}{(t^2 + 2)^2} = \frac{-4(t + 1)(t - 2)}{(t^2 + 2)^2}$.

Vì $G'(t) > 0, \forall t \in (0; 1)$ nên hàm số đồng biến. Đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị khi:

Ví dụ 3: Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm $x \in (0; \pi/12)$

Lời giải:

Sử dụng công thức hạ bậc:

Đặt $t = \cos 2x$. Vì $x \in (0; \pi/12)$ nên $2x \in (0; \pi/6)$, suy ra $t \in \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; 1 \right)$.

Phương trình trở thành:

Cách 1: Giải trực tiếp

Để có nghiệm $t \in \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; 1 \right)$:

Cách 2: Khảo sát hàm số

Xét $y = 4t^2 - 3$ trên $\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; 1 \right)$.

$y' = 8t > 0$ nên hàm số đồng biến. Phương trình có nghiệm khi:

Ví dụ 4: Tìm $m$ để phương trình có nghiệm

Lời giải:

Rút gọn biểu thức:

• $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$

• $\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x$

• $\sin^2 4x = (2\sin 2x \cos 2x)^2 = 4\sin^2 2x(1 - \sin^2 2x)$

Thay vào phương trình:

Đặt $t = \sin^2 2x$, điều kiện $0 \le t \le 1$. Phương trình trở thành: $4t^2 - 3t = m$.

Cách 1: Tam thức bậc 2

Để phương trình $4t^2 - 3t - m = 0$ có nghiệm $t \in [0; 1]$:

• TH 1: Có nghiệm trái dấu hoặc bằng 0: $f(0).f(1) \le 0 \Leftrightarrow (-m)(1 - m) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 1$.

• TH 2: Có hai nghiệm thuộc $[0; 1]$:

  $$\begin{cases} \Delta \ge 0 \\ af(0) \ge 0 \\ af(1) \ge 0 \\ 0 \le S/2 \le 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9 + 16m \ge 0 \\ -4m \ge 0 \\ 4(1 - m) \ge 0 \\ 0 \le 3/8 \le 1 \end{cases} \Leftrightarrow -9/16 \le m \le 0$$

  Tổng hợp lại: $-9/16 \le m \le 1$.

Cách 2: Khảo sát hàm số

Xét $y = 4t^2 - 3t$ trên $[0; 1]$.

$y' = 8t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 3/8$.

Bảng biến thiên:

• Tại $t = 0 \Rightarrow y = 0$

• Tại $t = 3/8 \Rightarrow y = -9/16$

• Tại $t = 1 \Rightarrow y = 1$

  Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi: $-9/16 \le m \le 1$.