Cách giải phương trình lượng giác có chứa tham số m - Toán 11 chuyên đề

10:41:5312/04/2022

Phương trình lượng giác luôn là dạng toán gây khó cho nhiều em, bởi dạng toán cũng khá đa dạng và tập nghiệm lại mang tính tổng quát. Và việc giải biện luận phương trình có tham số m sẽ càng phức tạp hơn bởi đòi hỏi kiến thức tổng quát hơn.

Việc giải và biện luận phương trình lượng giác có chứa tham số m sẽ giúp các em nắm được cách giải một các tổng quát, qua đó khi giải các phương trình lượng giác cụ thể sẽ cảm thấy dễ dàng hơn rất nhiều.

Với các bài toán lượng giác chứa tham số thường yêu cầu tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình có n nghiệm thuộc một khoảng D nào đó. Bài viết dưới đây, sẽ giúp các em nắm bắt được cách giải dạng phương trình này.

I. Cách giải phương trình lượng giác chứa tham số m

Cho phương trình lượng giác có chứa tham số m dạng Q(m,x) = 0 (*)

Để giải bài toán biện luận phương trình lượng giác có chứa tham số m ta thường sử dụng hai cách sau:

• Cách 1: Phương pháp tam thức bậc 2 (áp dụng khi đưa Q(m,x) về dạng tam thức bậc 2)

- Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (*)

- Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D (x ∈ D). Gọi miền giá trị của t là D₁

- Bước 3: Đưa phương trình (*) về phương trình dạng f(m,t) = at² + bt + c = 0 (**)

- Bước 4: Giải (**) tìm điều kiện để tam thức f(m,t) có nghiệm

- Bước 5: Kết luận

• Cách 2: Phương pháp đạo hàm

- Bước 1: Từ phương trình (*): Q(x,m) = 0 ta thường biến đổi về dạng F(x) = m và đặt ẩn phụ để đưa về dạng G(t) = m.

- Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D (x ∈ D). Gọi miền giá trị của t là D₁

- Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số G(t) trên miền xác định D₁

- Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số để biện luận nghiệm của phương trình.

• Một số dạng đặc biệt như phương trình: asinx + bcosx = c có nghiệm ⇔ a² + b² ≥ c².

II. Giải và biện luận phương trình có chứa tham số m qua ví dụ minh họa

* Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2sin²x - sinx.cosx - cos²x - m = 0 (*)

* Lời giải:

- Ta có: $\small (*)\Leftrightarrow (1-cos2x)-\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}(1+cos2x)=m$

$\small \Leftrightarrow sin2x+3cos2x = -2m+1$

(*) có nghiệm ⇔ 1² + 3² ≥ (1 - 2m)²

⇔ 4m² - 4m - 9 ≤ 0

⇔ $\small \frac{1-\sqrt{10}}{2}\leq m\leq \frac{1+\sqrt{10}}{2}$

Vậy với $\small \frac{1-\sqrt{10}}{2}\leq m\leq \frac{1+\sqrt{10}}{2}$ thì phương trình (*) có nghiệm.

* Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x (0; π/4)

mcos²x - 4sinx.cosx + m - 2 = 0 (*)

* Lời giải:

Với x∈(0; π/4) suy ra cosx ≠ 0.

Có sử dụng các công thức lượng giác cơ bản: $\small \frac{1}{cos^2x}=1+tan^2x$

Ta chia cả hai vế của phương trình cho cos²x ≠ 0 ta được:

m - 4tanx + (m - 2)(1 + tan²x) = 0

⇔ (m - 2)tan²x - 4tanx + 2m - 2 = 0 (**)

Đặt t = tanx vì x∈(0; π/4) nên t∈(0;1), ta được

(m - 2)t² - 4t + 2m - 2 = 0 (***)

Khi đó (*) có nghiệm x∈(0;π/4) khi và chỉ khi (***) có nghiệm t∈(0;1)

Ta có thể sử dụng một trong hai cách giải đã nêu ở trên và bài toán này.

* Cách 1: Sử dụng tam thức bậc 2 (giải tương tự cách giải và biện luận phương trình bậc 2 một ẩn có tham số).

+) Với m - 2 = 0 ⇔ m = 2 khi đó (***) có dạng:

-4t + 2 = 0 ⇔ t = 1/2∈(0;1)

Vậy m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

+) Với m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 khi đó (***) có nghiệm t∈(0;1) có thể xảy ra 2 trường hợp

- TH1: pt(***) có 1 nghiệm thuộc đoạn (0;1), tức là:

f(0).f(1)<0 ⇔ (2m - 2).(3m - 8) < 0

⇔ 1 < m < 8/3

- TH2: pt(***) có 2 nghiệm thuộc đoạn (0;1)

$\small \left\{\begin{matrix} \Delta '\geq 0\\ a.f(1)>0\\ a.f(0)>0\\ 0<\frac{S}{2}<1 \end{matrix}\right.$ $\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2m^2+6m\geq 0\\ (m-2)(3m-8)>0\\ (m-2)(2m-2)>0\\ 0<\frac{2}{m-2}<1 \end{matrix}\right.$ $\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq m\leq 3\\ m<2\: \vee \: m>\frac{8}{3}\\ m<1 \: \vee \: m> 2\\ m>4 \end{matrix}\right.$

Không có giá trị nào m thỏa

(Giải thích ý nghĩa hệ trên: Δ'≥0 để phương trình có 2 nghiệm; af(1)>0 để 1 nằm ngoài khoảng 2 nghiệm; af(0)>0 để 0 nằm ngoài khoảng hai nghiệm; 0<S/2<1 để trung bình cộng 2 nghiệm nằm trong khoảng (0;1) tức là 2 nghiệm của pt nếu có nằm trong khoảng (0;1)).

⇒ Kết luận: với 1 < m < 8/3phương trình có nghiệm x∈(0;π/4).

* Cách 2: Dùng phương pháp đạo hàm (hàm số)

- Viết lại phương trình: (m - 2)t² - 4t + 2m - 2 = 0

⇔ mt² - 2t² - 4t + 2m - 2 = 0

⇔ (t² + 2)m = 2t² + 4t + 2

$\small \Leftrightarrow \frac{2t^2+4t+2}{t^2+2}=m$

Phương trình có nghiệm x ∈(0;π/4) khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $\small y=\frac{2t^2+4t+2}{t^2+2}$ trên (0;1).

Xét hàm số (C): $\small y=\frac{2t^2+4t+2}{t^2+2}$ trên (0;1)

ta có: $\small y'=\frac{-4t^2+4t+8}{(t^2+2)^2}=\frac{-4(t+1)(t-2)}{(t^2+2)^2}>0$ $\small \forall t\in (0;1)$ tức là hàm số đồng biến trên (0;1).

Do đó đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (C) trên khoảng (0;1) khi và chỉ khi:

y(0) < m < y(1) ⇔ 1 < m < 8/3

⇒ Kết luận: với 1 < m < 8/3phương trình có nghiệm x∈(0;π/4).

* Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x∈(0;π/12):

cos4x = cos²3x + msin²x (*)

* Lời giải:

Sử dụng công thức bậc 2, công thức bậc 3

- Ta có: $\small cos4x=\frac{1}{2}(1+cos6x)+\frac{m}{2}(1-cos2x)$

$\small 2(2cos^22x-1)=1+4cos^32x-3cos2x+m(1-cos2x)$

Đặt t = cos2x, vì x∈(0;π/12) nên 2x∈(0;π/6)

suy ta: t = cos2x thì $\small t\in \left ( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right )$ khi đó, ta có:

$\small 2(2t^2-1)=1+4t^2-3t+m(1-t)$

$\small \Leftrightarrow -4t^3+4t^2+3t-3=m(1-t)$

$\small \Leftrightarrow (t-1)(-4t^2+3)=m(1-t)$

$\small \Leftrightarrow 4t^2-3=m$ (vì t≠1).

* Cách 1: Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t, ta có:

$\small t^2=\frac{m+3}{4}\Rightarrow t=\pm\frac{ \sqrt{m+3}}{2},(m>-3)$

Vì $\small t\in \left ( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right )$ nên $\small t=-\frac{\sqrt{m+3}}{2}<0$ loại,

chỉ có thể $\small t=\frac{\sqrt{m+3}}{2}\in \left ( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right )$ tức là:

$\small \frac{\sqrt{3}}{2}<\frac{\sqrt{m+3}}{2}<1\Leftrightarrow 0<m<1$

⇒ Kết luận: Với 0<m<1 thì pt(*) có nghiệm x∈(0;π/12)

* Cách 2: Giải theo đạo hàm hàm số

Xét y = 4t² - 3 (P) trên đoạn $\small \left ( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right )$ ta có:

$\small y'=8t>0,\: \forall t\in \left ( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right )$

Do đó (*) có nghiệm x∈(0;π/12) khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt (P) trên $\small \left ( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right )$

$\small \Leftrightarrow y\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )<m<y(1)\Leftrightarrow 0<m<1$

⇒ Kết luận: Với 0<m<1 thì pt(*) có nghiệm x∈(0;π/12)

* Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

4(sin⁴x + cos⁴x) - 4(sin⁶x + cos⁶x) - sin²4x = m

* Lời giải:

- Ta có:

sin⁶x + cos⁶x = (sin²x)³ + (cos²x)³

= (sin²x + cos²x )(sin⁴ x - sin²xcos²x + cos⁴x)

= sin⁴x + 2sin²xcos²x + cos⁴x - 3sin²xcos²x

= (sin²x + cos²x)² - 3sin²xcos²x = 1 - 3(sinxcosx)²

$\small =1-3\left ( \frac{sin2x}{2} \right )^2=1-\frac{3}{4}sin^22x$

sin⁴x + cos⁴x = sin⁴x + 2sin²xcos²x + cos⁴x - 2sin²xcos²x

= (sin²x + cos²x)² - 2sin²xcos²x = 1 - 2(sinxcosx)²

$\small =1 - 2(\frac{sin2x}{2})^2= 1- \frac{1}{2}sin^22x$

sin²4x = (sin4x)² = (2sin2xco2x)² = 4sin²2xcos²2x

= 4sin²2x(1 - sin²2x) = 4sin²2x - 4sin⁴2x

Do đó, phương trình (*) được đưa về dạng

$\small 4(1-\frac{1}{2}sin^22x)-4(1-\frac{3}{4}sin^22x)-(4sin^22x - 4sin^42x)=m$

$\small \Leftrightarrow 4-2sin^22x-4+3sin^2x-4sin^2x+4sin^42x=m$

$\small \Leftrightarrow 4sin^42x-3sin^22x=m$

Đặt t = sin²2x điều kiện 0 ≤ t ≤ 1 khi đó phương trình có dạng:

4t² - 3t = m (1)

* Cách 1: Để pt(*) có nghiệp thì pt(1) có nghiệm t∈[0;1]. Có 2 trường hợp: Pt(1) có 1 nghiệm hoặc có 2 thuộc [0;1]

$\small \left \[\begin{matrix} f(0).f(1)\leq 0\\ \left\{\begin{matrix} \Delta '\geq 0\\ af(0)\geq 0\\ af(1)\geq 0\\ 0\leq \frac{S}{2}\leq 1 \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} -m.(1-m)\leq 0\\ \left\{\begin{matrix} 9+16m\geq 0\\ 4.(-m)\geq 0\\ 4(1-m)\geq 0\\ 0\leq \frac{3}{8}\leq 1 \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 0\leq m\leq 1\\ \frac{-9}{16}\leq m\leq 0 \end{matrix} \right.$

Vậy với $\small \frac{-9}{16}\leq m\leq 1$ thì pt(*) có nghiệm

* Cách 2: Giải theo phương pháp đạo hàm hàm số

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = 4t² - 3t trên đoạn [0;1].

Xét hàm số y = 4t² - 3t trên đoạn [0;1].

Đạo hàm y' = 8t - 3, y' = 0 ⇒ t = 3/8.

Ta lập bảng biến thiên và từ bảng biến thiên ta rút ra kết luận:Với $\small \frac{-9}{16}\leq m\leq 1$ thì pt(*) có nghiệm

Hy vọng với bài viết Cách giải phương trình lượng giác có chứa tham số m ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Cách giải phương trình lượng giác có chứa tham số m - Toán 11 chuyên đề

Tags:

Đánh giá & nhận xét