Cách giải Các dạng toán phương trình lượng giác, bài tập Cơ bản đến Nâng cao (Toán 11)

Vậy phương trình lượng giác có những dạng toán nào? Phương pháp giải từng dạng ra sao? Hãy cùng HayHọcHỏi hệ thống lại toàn bộ lý thuyết và vận dụng các phương pháp này để chinh phục các bài tập từ cơ bản đến nâng cao nhé!

I. Lý thuyết về Phương trình lượng giác

1. Phương trình $\sin x = a$ (1)

• $|a| > 1$: Phương trình (1) vô nghiệm.

• $|a| \le 1$: Gọi $\alpha$ là một cung thỏa mãn $\sin \alpha = a$. Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là:

  $$x = \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

  và

  $$x = \pi - \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

• Nếu $\alpha$ thỏa mãn điều kiện $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ và $\sin \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \arcsin a$. Khi đó các nghiệm là:

  $$x = \arcsin a + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

  và

  $$x = \pi - \arcsin a + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

• Phương trình độ: $\sin x = \sin \beta^\circ$ có các nghiệm là:

  $$x = \beta^\circ + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})$$

  và

  $$x = 180^\circ - \beta^\circ + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})$$

2. Phương trình $\cos x = a$  (2)

• $|a| > 1$: Phương trình (2) vô nghiệm.

• $|a| \le 1$: Gọi $\alpha$ là một cung thỏa mãn $\cos \alpha = a$. Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là:

  $$x = \pm\alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

• Nếu $\alpha$ thỏa mãn điều kiện $0 \le \alpha \le \pi$ và $\cos \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \arccos a$. Khi đó:

  $$x = \pm\arccos a + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

• Phương trình độ: $\cos x = \cos \beta^\circ$ có các nghiệm là:

  $$x = \pm\beta^\circ + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})$$

3. Phương trình $\tan x = a$ (3)

• Điều kiện xác định: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

• Nếu $\alpha$ thỏa mãn $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ và $\tan \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \arctan a$. Nghiệm của phương trình (3) là:

  $$x = \arctan a + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

• Phương trình độ: $\tan x = \tan \beta^\circ$ có các nghiệm là:

  $$x = \beta^\circ + k180^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})$$

4. Phương trình $\cot x = a$ (4)

• Điều kiện xác định: $x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

• Nếu $\alpha$ thỏa mãn $0 < \alpha < \pi$ và $\cot \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \text{arccot } a$. Nghiệm của phương trình (4) là:

  $$x = \text{arccot } a + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

• Phương trình độ: $\cot x = \cot \beta^\circ$ có các nghiệm là:

  $$x = \beta^\circ + k180^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})$$

5. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác

• Dạng: $a\sin x + b = 0$; $a\cos x + b = 0$; $a\tan x + b = 0$; $a\cot x + b = 0$ ($a, b \in \mathbb{R}; a \neq 0$).

• Phương pháp giải: Đưa về dạng phương trình cơ bản.

  Ví dụ: $a\sin x + b = 0 \Leftrightarrow \sin x = -\frac{b}{a}$.

• Dạng tổng quát: $a\sin[f(x)] + b = 0$; $a\cos[f(x)] + b = 0$;...

6. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

• Dạng: $a\sin^2 x + b\sin x + c = 0$ ($a, b, c \in \mathbb{R}; a \neq 0$).

• Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ $t$, rồi giải phương trình bậc hai đối với $t$.

  • Ví dụ: Đặt $t = \sin x$, điều kiện $-1 \le t \le 1$. Ta có phương trình $at^2 + bt + c = 0$.

• Lưu ý: Khi đặt $t = \sin x$ hoặc $t = \cos x$ bắt buộc phải có điều kiện $-1 \le t \le 1$.

7. Phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$

• Dạng: $a\sin x + b\cos x = c$ ($a \neq 0, b \neq 0$).

• Điều kiện có nghiệm: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $a^2 + b^2 \ge c^2$.

• Phương pháp giải:

  • Cách 1: Chia cả hai vế cho $\sqrt{a^2 + b^2}$, ta được:

    $$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

    Đặt $\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ và $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

    Phương trình đưa về dạng cơ bản: $\sin(x + \varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

  • Cách 2: Sử dụng công thức biểu diễn theo $t = \tan \frac{x}{2}$ (với $\cos \frac{x}{2} \neq 0$):

    $$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}; \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$$

    Thay vào và giải phương trình bậc 2 theo $t$.

II. Các dạng toán về Phương trình lượng giác và phương pháp giải

Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp: Sử dụng trực tiếp các công thức nghiệm cơ bản.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sin(x + 2) = \frac{1}{3}$

b) $\sin 3x = 1$

c) $\sin\left(\frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = 0$

d) $\sin(2x + 20^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Lời giải:

a) $\sin(x + 2) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \begin{cases} x + 2 = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + k2\pi \\ x + 2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) - 2 + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) - 2 + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$

b) $\sin 3x = 1 \Leftrightarrow \sin 3x = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})$

c) $\sin\left(\frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} = k\pi \Leftrightarrow \frac{2x}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$

d) $\sin(2x + 20^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin(2x + 20^\circ) = \sin(-60^\circ)$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 2x + 20^\circ = -60^\circ + k360^\circ \\ 2x + 20^\circ = 180^\circ - (-60^\circ) + k360^\circ \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 2x = -80^\circ + k360^\circ \\ 2x = 220^\circ + k360^\circ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -40^\circ + k180^\circ \\ x = 110^\circ + k180^\circ \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sin 2x = \frac{1}{2}$

b) $\cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $\tan(x + 60^\circ) = -\sqrt{3}$

d) $\cot\left(\frac{\pi}{5} - 3x\right) = \frac{1}{3}$

Lời giải:

a) $\sin 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow \begin{cases} 2x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ 2x = \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{12} + k\pi \\ x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$

b) $\cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \cos 2x = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$

$\Leftrightarrow 2x = \pm\frac{3\pi}{4} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm\frac{3\pi}{8} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

c) $\tan(x + 60^\circ) = -\sqrt{3} \Leftrightarrow \tan(x + 60^\circ) = \tan(-60^\circ)$

$\Leftrightarrow x + 60^\circ = -60^\circ + k180^\circ \Leftrightarrow x = -120^\circ + k180^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})$

d) $\cot\left(\frac{\pi}{5} - 3x\right) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{\pi}{5} - 3x = \text{arccot}\left(\frac{1}{3}\right) + k\pi$

$\Leftrightarrow -3x = \text{arccot}\left(\frac{1}{3}\right) - \frac{\pi}{5} + k\pi \Leftrightarrow x = -\frac{1}{3}\text{arccot}\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi}{15} - \frac{k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})$

Dạng 2: Biến đổi đưa về phương trình cơ bản

Phương pháp: Dùng các công thức lượng giác (nhân đôi, hạ bậc, cộng, biến đổi tích thành tổng...) để đưa phương trình phức tạp về dạng cơ bản.

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

a) $\sin^2 x = \frac{1}{2}$

b) $\cos^2 2x = 1$

c) $\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2}$

d) $\sin x + \cos x = 1$

Lời giải:

a) $\sin^2 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

• $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{3\pi}{4} + k2\pi$.

• $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{5\pi}{4} + k2\pi$.

b) $\cos^2 2x = 1 \Leftrightarrow 1 - \sin^2 2x = 1 \Leftrightarrow \sin^2 2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$.

c) $\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin^2 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin^2 2x = 1 \Leftrightarrow \cos^2 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0$

$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$.

d) $\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \Leftrightarrow \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + k2\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$

Ví dụ 2: Giải các phương trình:

a) $\cos 2x \cdot \cos 5x = \cos 7x$

b) $\sin 4x \cdot \sin 3x = \cos x$

Lời giải:

a) $\cos 2x \cdot \cos 5x = \cos 7x \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos 7x) = \cos 7x \Leftrightarrow \cos 3x = \cos 7x$

$\Leftrightarrow 3x = \pm 7x + k2\pi \Leftrightarrow \begin{cases} 4x = k2\pi \\ 10x = k2\pi \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{k\pi}{2}$ hoặc $x = \frac{k\pi}{5} \quad (k \in \mathbb{Z})$.

b) $\sin 4x \cdot \sin 3x = \cos x \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\cos x - \cos 7x) = \cos x \Leftrightarrow -\cos 7x = \cos x \Leftrightarrow \cos 7x = \cos(\pi - x)$

$\Leftrightarrow 7x = \pm(\pi - x) + k2\pi \Leftrightarrow \begin{cases} 8x = \pi + k2\pi \\ 6x = -\pi + k2\pi \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}$ hoặc $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Ví dụ 3: Giải các phương trình:

a) $1 + 2\cos x + \cos 2x = 0$

b) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0$

c) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0$

d) $\sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x$

Lời giải:

a) $1 + 2\cos x + \cos 2x = 0 \Leftrightarrow (1 + \cos 2x) + 2\cos x = 0 \Leftrightarrow 2\cos^2 x + 2\cos x = 0 \Leftrightarrow 2\cos x(\cos x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \cos x = 0 \\ \cos x = -1 \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ hoặc $x = \pi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

b) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0 \Leftrightarrow (\cos x + \cos 3x) + \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2\cos 2x \cos x + \cos 2x = 0$

$\Leftrightarrow \cos 2x(2\cos x + 1) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \cos 2x = 0 \\ \cos x = -\frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$ hoặc $x = \pm\frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

c) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0 \Leftrightarrow (\sin x + \sin 4x) + (\sin 2x + \sin 3x) = 0$

$\Leftrightarrow 2\sin\left(\frac{5x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{5x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \Leftrightarrow 2\sin\left(\frac{5x}{2}\right)\left[\cos\left(\frac{3x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)\right] = 0$

$\Leftrightarrow 4\sin\left(\frac{5x}{2}\right)\cos x \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{k2\pi}{5}$ hoặc $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ hoặc $x = \pi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

d) $\sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x \Leftrightarrow \frac{1 - \cos 2x}{2} + \sin^2 2x = \frac{1 - \cos 6x}{2} \Leftrightarrow \cos 6x - \cos 2x + 2\sin^2 2x = 0$

$\Leftrightarrow -2\sin 4x \sin 2x + 2\sin^2 2x = 0 \Leftrightarrow 2\sin 2x(\sin 2x - \sin 4x) = 0$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \sin 2x = 0 \\ \sin 4x = \sin 2x \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{k\pi}{2}$ hoặc $x = \frac{k\pi}{3}$ hoặc $x = -\frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Dạng 3: Phương trình bậc nhất có một hàm số lượng giác

Ví dụ: Giải các phương trình:

a) $\cos^2 x - \cos x = 0$

b) $\sin^2\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 1$

Lời giải:

a) $\cos^2 x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x(\cos x - 1) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \cos x = 0 \\ \cos x = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ hoặc $x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

b) $\sin^2\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 1 \Leftrightarrow 1 - \cos^2\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 1$

$\Leftrightarrow -\cos^2\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \Leftrightarrow \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\left[-\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 2\right] = 0$

• $\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

• $\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 2$ (Vô nghiệm vì $\cos \alpha \le 1$).

Dạng 4: Phương trình bậc hai có một hàm số lượng giác

Ví dụ: Giải các phương trình:

a) $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$

b) $4\sin^2 x + 4\cos x - 1 = 0$

Lời giải:

a) $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$. Đặt $t = \sin x$ ($-1 \le t \le 1$), ta có: $2t^2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = \frac{1}{2}$.

• Với $t = 1 \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

• Với $t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

b) $4\sin^2 x + 4\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow 4(1 - \cos^2 x) + 4\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow -4\cos^2 x + 4\cos x + 3 = 0$.

Đặt $t = \cos x$ ($-1 \le t \le 1$), ta có: $-4t^2 + 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}$ (loại) hoặc $t = -\frac{1}{2}$.

• Với $t = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = -\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \Leftrightarrow x = \pm\frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc 2: $a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = d$. Cách giải chung là xét trường hợp $\cos x = 0$, sau đó chia hai vế cho $\cos^2 x \neq 0$ để đưa về phương trình bậc 2 theo $\tan x$.

Dạng 5: Phương trình dạng $a\sin x + b\cos x = c$

Ví dụ: Giải các phương trình:

a) $3\sin x + 4\cos x = 5$

b) $2\sin 2x - 2\cos 2x = \sqrt{2}$

Lời giải:

a) Chia hai vế cho $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, ta được: $\frac{3}{5}\sin x + \frac{4}{5}\cos x = 1$.

Đặt $\cos \varphi = \frac{3}{5}, \sin \varphi = \frac{4}{5}$, phương trình thành: $\sin(x + \varphi) = 1 \Leftrightarrow x + \varphi = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} - \varphi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

b) Chia hai vế cho 2, ta được: $\sin 2x - \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

$\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $2x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$.

$\Leftrightarrow x = \frac{5\pi}{24} + k\pi$ hoặc $x = \frac{13\pi}{24} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Dạng 6: Phương trình đối xứng với $\sin x$ và $\cos x$

Dạng: $a(\sin x \pm \cos x) + b\sin x \cos x + c = 0$.

Phương pháp: Đặt $t = \sin x \pm \cos x$. Ví dụ: $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ (Điều kiện $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$). Khi đó $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$.

Ví dụ: Giải các phương trình:

a) $2(\sin x + \cos x) - 4\sin x \cos x - 1 = 0$

b) $\sin 2x - 12(\sin x + \cos x) + 12 = 0$

Lời giải:

a) Đặt $t = \sin x + \cos x$ ($-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$). Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$. Phương trình trở thành:

$2t - 4\left(\frac{t^2 - 1}{2}\right) - 1 = 0 \Leftrightarrow -2t^2 + 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$. Cả hai giá trị đều thỏa mãn.

• Giải tiếp $\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = t$ để tìm $x$.

b) Tương tự, đặt $t = \sin x + \cos x$, thay $\sin 2x = t^2 - 1$:

$t^2 - 1 - 12t + 12 = 0 \Leftrightarrow t^2 - 12t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ (nhận) hoặc $t = 11$ (loại).

• Với $t = 1 \Leftrightarrow \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 \Leftrightarrow \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ hoặc $x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

III. Bài tập tổng hợp vận dụng

Bài 1: Giải phương trình $\sin 2x - \sin x = 0$

• Lời giải: $\sin 2x - \sin x = 0 \Leftrightarrow 2\sin x \cos x - \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x(2\cos x - 1) = 0$

  $\Leftrightarrow \sin x = 0$ hoặc $\cos x = \frac{1}{2}$.

  Từ đó suy ra tập nghiệm: $\left\{ k\pi ; \pm\frac{\pi}{3} + k2\pi \right\} \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Bài 2: Với những giá trị nào của $x$ thì hàm số $y = \sin 3x$ và $y = \sin x$ bằng nhau?

• Lời giải: $\sin 3x = \sin x \Leftrightarrow 3x = x + k2\pi$ hoặc $3x = \pi - x + k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) $\cos(x - 1) = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 1 \pm \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + k2\pi$

b) $\cos 3x = \cos 12^\circ \Rightarrow x = \pm 4^\circ + k120^\circ$

c) $\cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{11\pi}{18} + \frac{k4\pi}{3}$ hoặc $x = -\frac{5\pi}{18} + \frac{k4\pi}{3}$

d) $\cos^2 2x = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos 2x = \pm\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$ hoặc $x = \pm\frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}$

Bài 4: Giải phương trình $\frac{2\cos 2x}{1 - \sin 2x} = 0$

• Lời giải:

  Điều kiện: $\sin 2x \neq 1 \Leftrightarrow 2x \neq \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi$.

  Phương trình $\Leftrightarrow 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$.

  • Đối chiếu điều kiện:

    • Nếu $k$ chẵn ($k = 2n$): $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ (Vi phạm điều kiện).

    • Nếu $k$ lẻ ($k = 2n + 1$): $x = \frac{3\pi}{4} + n\pi$ (Thỏa mãn).

      Vậy họ nghiệm là $x = \frac{3\pi}{4} + n\pi \quad (n \in \mathbb{Z})$.

Bài 5: Giải phương trình $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

• Lời giải: Đặt $t = \cos x$ ($-1 \le t \le 1$), ta được phương trình $2t^2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = \frac{1}{2}$.

  • $t = 1 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = k2\pi$.

  • $t = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + k2\pi$.