Các dạng bài tập về quy tắc cộng,quy tắc nhân (cách nhận biết và lỗi sai thường gặp) Toán 11

Vậy quy tắc cộng và quy tắc nhân được phát biểu như thế nào? Khi nào thì dùng cộng, khi nào thì dùng nhân? Hãy cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây, đồng thời đi sâu vào giải các bài tập vận dụng để ghi nhớ lý thuyết một cách tự nhiên nhất nhé!

I. Kiến thức cần nhớ về quy tắc cộng và quy tắc nhân

1. Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong $k$ phương án $A_1, A_2, \dots, A_k$. Nếu:

• Phương án $A_1$ có thể làm bằng $n_1$ cách.

• Phương án $A_2$ có thể làm bằng $n_2$ cách.

• ...

• Phương án $A_k$ có thể làm bằng $n_k$ cách.

2. Quy tắc nhân

Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong $k$ công đoạn liên tiếp $A_1, A_2, \dots, A_k$. Nếu:

• Công đoạn $A_1$ có thể làm bằng $n_1$ cách.

• Công đoạn $A_2$ có thể làm bằng $n_2$ cách.

• ...

• Công đoạn $A_k$ có thể làm bằng $n_k$ cách.

(Hiểu đơn giản: Một công việc chỉ được hoàn thành khi thực hiện đủ $k$ hành động liên tiếp).

II. Các dạng bài tập quy tắc đếm thường gặp

Dạng 1: Đếm số phương án sử dụng các quy tắc đếm

Phương pháp giải:

• Để sử dụng quy tắc cộng:

  • Bước 1: Phân tích các phương án thành $k$ nhóm độc lập với nhau: $A_1, A_2, \dots, A_k$.

  • Bước 2: Xác định số cách thực hiện của từng phương án (giả sử là $n_1, n_2, \dots, n_k$).

  • Bước 3: Áp dụng công thức cộng: Tổng số cách là $n_1 + n_2 + \dots + n_k$.

• Để sử dụng quy tắc nhân:

  • Bước 1: Phân tích một hành động lớn thành $k$ công việc nhỏ liên tiếp: $A_1, A_2, \dots, A_k$.

  • Bước 2: Xác định số cách thực hiện của từng công việc nối tiếp nhau ($n_1, n_2, \dots, n_k$).

  • Bước 3: Áp dụng công thức nhân: Tổng số cách là $n_1 \cdot n_2 \dots n_k$.

Ví dụ 1: Bốn thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường. Biết từ A đến B có 4 con đường, từ B đến C có 2 con đường, từ C đến D có 3 con đường.

a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A?

Lời giải:

a) Việc đi từ A đến D là công việc được hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp:

• Đi từ A đến B: Có 4 con đường.

• Đi từ B đến C: Có 2 con đường.

• Đi từ C đến D: Có 3 con đường.

  $\Rightarrow$ Theo quy tắc nhân, số cách đi từ A đến D (chỉ qua B và C một lần) là: 4 x 3 x 2 = 24 (con đường).

b) Có 24 cách đi từ A đến D thì tương ứng cũng có 24 cách đi từ D về lại A.

Việc đi từ A đến D rồi lại quay lại A là công việc được hoàn thành bởi 2 hành động liên tiếp:

• Đi từ A đến D: Có 24 cách.

• Đi từ D về A: Có 24 cách.

  $\Rightarrow$ Theo quy tắc nhân, tổng số cách đi là: 24 x 24 = 576 (cách).

Ví dụ 2: Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

Lời giải:

Việc chọn một chiếc đồng hồ cần thực hiện 2 hành động liên tiếp:

• Chọn mặt đồng hồ: Có 3 cách chọn.

• Chọn dây đồng hồ: Có 4 cách chọn.

  $\Rightarrow$ Theo quy tắc nhân, ta có: 3 x 4 = 12 (cách chọn đồng hồ).

Ví dụ 3: Có 18 đội bóng tham gia thi đấu. Hỏi có bao nhiêu cách trao 3 loại huy chương vàng, bạc, đồng cho 3 đội nhất, nhì, ba biết rằng mỗi đội chỉ nhận nhiều nhất một huy chương và đội nào cũng có khả năng đạt giải?

Lời giải:

Để trao 3 tấm huy chương cho 3 trong 18 đội, ta thực hiện 3 hành động liên tiếp:

• Chọn 1 độitrao huy chương Vàng: Có18lựa chọn.

• Chọn 1 đội trao huy chương Bạc: Có17lựa chọn (đã bớt đi đội đạt HCV).

• Chọn 1 đội trao huy chương Đồng: Có16 lựa chọn (đã bớt đi đội đạt HCV, HCB).

  $\Rightarrow$ Theo quy tắc nhân, số cách trao giải là: 18 x 17 x 16 = 4896 (cách).

Ví dụ 4: Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ.

a) Nhà trường cần chọn một học sinh khối 11 đi dự đại hội cấp thành phố. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

b) Nhà trường cần chọn hai học sinh (một nam, một nữ) đi dự trại hè. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

a) Chọn 1 học sinh đi dự đại hội, ta có hai phương án độc lập:

• Phương án 1: Chọn học sinh nam (có 280 cách).

• Phương án 2: Chọn học sinh nữ (có 325 cách).

  $\Rightarrow$ Theo quy tắc cộng, tổng số cách chọn là: 280 + 325 = 605 (cách).

b) Chọn 2 học sinh (1 nam, 1 nữ) là thực hiện 2 hành động liên tiếp:

• Hành động 1: Chọn 1 nam (có 280 cách).

• Hành động 2: Chọn 1 nữ (có 325 cách).

  $\Rightarrow$ Theo quy tắc nhân, tổng số cách chọn là: 280 x 325 = 91000 (cách).

Dạng 2: Đếm số được hình thành từ một tập hợp cho trước

Phương pháp giải:

1. Sử dụng quy tắc nhân: Dùng khi đếm các số gồm $k$ chữ số hình thành từ tập $A$.

• Bước 1: Gọi số cần tìm có dạng $\overline{a_1 a_2 \dots a_k}$ với $a_i \in A$ và chữ số đầu tiên $a_1 \neq 0$.

• Bước 2: Đếm số cách chọn cho từng vị trí $a_i$ (không nhất thiết phải chọn theo thứ tự từ trái sang phải, ưu tiên vị trí có điều kiện ràng buộc trước).

• Bước 3: Nhân các kết quả lại với nhau.

2. Sử dụng kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân:

• Bước 1: Chia các số cần tìm thành các tập con $H_1, H_2, \dots$ độc lập với nhau dựa trên điều kiện của đề bài.

• Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân để đếm số phần tử của từng tập $H_1, H_2, \dots$ (giả sử là $k_1, k_2, \dots$).

• Bước 3: Dùng quy tắc cộng để tính tổng số các số: $k_1 + k_2 + \dots$

Ví dụ 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn:

a) Có một chữ số.

b) Có hai chữ số.

c) Có hai chữ số khác nhau.

Lời giải:

a) Gọi số có 1 chữ số là $a$. Chọn $a$ từ tập $\{1, 2, 3, 4\}$ có 4 cách.

b) Gọi số có 2 chữ số là $\overline{ab}$.

• Chọn $a$: có 4 cách.

• Chọn $b$: có 4 cách (vì các chữ số có thể trùng nhau).

  $\Rightarrow$ Theo quy tắc nhân: 4 x 4 = 16 (số).

  c) Gọi số có 2 chữ số khác nhau là $\overline{cd}$.

• Chọn $c$: có 4 cách.

• Chọn $d$: có 3 cách (vì $d$ phải khác $c$).

  $\Rightarrow$ Theo quy tắc nhân: 4 x 3 = 12 (số).

Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?

Lời giải:

Các số tự nhiên bé hơn 100 được lập từ tập đã cho chia làm 2 trường hợp:

• Trường hợp 1 (Số có 1 chữ số): Có 6 số thỏa mãn (1, 2, 3, 4, 5, 6).

• Trường hợp 2 (Số có 2 chữ số $\overline{ab}$): * Chọn hàng chục $a$: 6 cách.

  • Chọn hàng đơn vị $b$: 6 cách.

    $\Rightarrow$ Theo quy tắc nhân có 6 x 6 = 36 số.

• Áp dụng quy tắc cộng cho 2 trường hợp: 36 + 6 = 42 (số).

III. Mẹo nhận biết cực chuẩn và lỗi sai cần tránh

1. Cách để biết khi nào CỘNG, khi nào NHÂN

Để không bao giờ nhầm lẫn giữa hai quy tắc này, các em chỉ cần nhớ như sau:

• Dùng QUY TẮC CỘNG khi: * Bài toán yêu cầu chia thành các "Trường hợp", "Phương án".

  • Trong đề bài thường xuất hiện từ khóa "HOẶC", "HAY".

  • Dấu hiệu nhận biết: Hoàn thành xong một trường hợp là công việc đã được giải quyết xong xuôi (không cần làm thêm gì nữa).

• Dùng QUY TẮC NHÂN khi:

  • Bài toán yêu cầu thực hiện qua các "Bước", "Giai đoạn", "Công đoạn".

  • Trong đề bài thường xuất hiện từ khóa "VÀ", "LIÊN TIẾP", "ĐỒNG THỜI".

  • Dấu hiệu nhận biết: Làm xong một bước thì công việc vẫn chưa xong, bắt buộc phải làm tiếp các bước tiếp theo thì mới hoàn thành yêu cầu.

2. Các lỗi sai các em hay mắc phải

Lỗi 1: Áp dụng rập khuôn quy tắc nhân mà quên điều kiện chữ số đầu tiên khác 0

• Tình huống: Đề bài yêu cầu lập số tự nhiên có 3 chữ số $\overline{abc}$ từ tập hợp $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.

• Sai lầm: Nhiều bạn tự tin lấy $5 \times 5 \times 5 = 125$ số (nếu các chữ số có thể giống nhau) hoặc $5 \times 4 \times 3 = 60$ số (nếu khác nhau).

• Sự thật: Các em đã quên mất điều kiện quan trọng: Chữ số đứng đầu $a \neq 0$. Do đó, $a$ chỉ có 4 cách chọn (từ 1 đến 4). Kết quả đúng phải là $4 \times 5 \times 5 = 100$ hoặc $4 \times 4 \times 3 = 48$.

Lỗi 2: Chọn sai thứ tự ưu tiên khi lập số (Không làm từ vị trí có điều kiện khắt khe nhất)

• Tình huống: Lập số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau $\overline{abc}$ từ tập $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

• Sai lầm: Các em thường quen tay chọn từ trái sang phải: Chọn $a$ trước, rồi đến $b$, đến $c$. Khi đến chữ số tận cùng $c$, các em sẽ bị lúng túng vì không biết các số chẵn đã bị $a$ và $b$ "giành mất" hay chưa.

• Nguyên tắc vàng: Phải ưu tiên chọn những vị trí có nhiều điều kiện ràng buộc nhất trước. Ở ví dụ này, $c$ phải là số chẵn $\Rightarrow$ Ưu tiên chọn $c$ đầu tiên (có 3 cách: 2, 4, 6), sau đó mới quay lại chọn $a$ (có 5 cách do khác $c$), và cuối cùng chọn $b$ (có 4 cách).

Lỗi 3: Lỗi đếm trùng (Double counting)

• Tình huống: Trong lớp có 15 bạn giỏi Toán, 10 bạn giỏi Văn. Cần chọn 1 bạn giỏi Toán hoặc giỏi Văn.

• Sai lầm: Áp dụng ngay quy tắc cộng: $15 + 10 = 25$ cách.

• Sự thật: Phép cộng này chỉ đúng nếu không có bạn nào vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn. Nếu có 3 bạn giỏi cả hai môn, khi cộng $15 + 10$, 3 bạn này đã bị tính hai lần. Các em luôn phải tự hỏi: Các phương án mình vừa chia có độc lập và tách biệt hoàn toàn với nhau không?

Tóm lại: Chìa khóa để giỏi dạng bài này là các em cần phân biệt rõ ràng: Nếu một công việc được hoàn thành bởi một phương án trong $k$ phương án lựa chọn thì dùng quy tắc cộng. Ngược lại, nếu một công việc phải trải qua $k$ bước liên tiếp để hoàn thành thì dùng quy tắc nhân.

IV. Bài tập tự luyện

Để rèn luyện thêm kỹ năng phân tích bài toán đếm, các em hãy thử sức với các bài tập sau:

• Bài tập 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà cả 3 chữ số này đều là số lẻ?

• Bài tập 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0, biết rằng tổng ba chữ số này bằng 8?

• Bài tập 3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau mà tổng của các chữ số của mỗi số bằng 12?