Giải bài 9 trang 73 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1)

Đề bài:

Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao. 

a) Chứng minh: 

b) Biết rằng S_ABC = 9S_BDE và DE = 2√2. Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán có hai yêu cầu chính:

a) Chứng minh tỉ số diện tích: Ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích tam giác S=​absinC để thiết lập tỉ số giữa diện tích hai tam giác BDE và ABC.

b) Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp R: Dựa vào tỉ số diện tích đã cho, ta sẽ tìm được $\cos B$. Sau đó, sử dụng định lí sin và tính chất đồng dạng để tìm bán kính $R$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa:

a) Chứng minh:

Áp dụng công thức: 

Cho tam giác ABC và BED, ta có:

Nên:

b) Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có: 

Mà:

+) Xét tam giác ABC và tam giác DEB ta có:

  và góc B chung.

Suy ra: ΔABC ∼ ΔDEB (c-g-c)

Ta có: 

 (do B là góc nhọn nên sinB>0)

+ Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

Vậy bán đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: 9/2 (đơn vị độ dài)