Giải bài 7 trang 61 Toán 10 Tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Giải các bất phương trình sau:

a) 2x² + 3x + 1 ≥ 0; 

b) –3x² + x + 1 > 0; 

c) 4x² + 4x + 1 ≥ 0; 

d) –16x² + 8x – 1 < 0; 

e) 2x² + x + 3 < 0; 

g) –3x² + 4x – 5 < 0. 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bất phương trình bậc hai ax²+bx+c>0 (hoặc $<0,\ge 0,\le 0$), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm nghiệm của tam thức: Giải phương trình ax²+bx+c=0.

2. Sử dụng định lý về dấu:

   • Nếu tam thức có hai nghiệm phân biệt, $f(x)$ sẽ trái dấu với $a$ trong khoảng hai nghiệm và cùng dấu với $a$ ngoài khoảng hai nghiệm.

   • Nếu tam thức có nghiệm kép, $f(x)$ sẽ luôn cùng dấu với $a$ (trừ tại nghiệm kép thì $f(x)=0$).

   • Nếu tam thức vô nghiệm, $f(x)$ sẽ luôn cùng dấu với $a$.

3. Kết luận tập nghiệm: Dựa vào dấu của tam thức và yêu cầu của bất phương trình để xác định tập nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) 2x² + 3x + 1 ≥ 0

Tam thức bậc hai 2x² + 3x + 1 có ∆ = 3² – 4 . 2 . 1 = 1 > 0

Nên tam thức này có hai nghiệm x₁ = – 1, x₂ = –1/2 và có hệ số a = 2 > 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức 2x² + 3x + 1 không âm là: 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x² + 3x + 1 ≥ 0 là:

b) –3x² + x + 1 > 0 

Tam thức bậc hai – 3x² + x + 1 có ∆ = 1² – 4 . (– 3) . 1 = 13 > 0

Nên tam thức này có hai nghiệm:

 và hệ số a = – 3 < 0. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức –3x² + x + 1 mang dấu "+" là:  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình –3x² + x + 1 là: 

c) 4x² + 4x + 1 ≥ 0 

Tam thức bậc hai 4x² + 4x + 1 có ∆ = 4² – 4 . 4 . 1 = 0

Nên tam thức này có nghiệm kép là x = –1/2 và hệ số a = 4 > 0. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy 4x² + 4x + 1 > 0 với mọi và 4x² + 4x + 1 = 0 tại x = –1/2.

Vì vậy, bất phương trình 4x² + 4x + 1 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ℝ.

d) –16x² + 8x – 1 < 0

– 16x² + 8x – 1 < 0 

Tam thức bậc hai – 16x² + 8x – 1 < 0 có ∆ = 8² – 4 . (–16) . (–1) = 0

Nên tam thức có nghiệm kép là x = 1/4 và hệ số a = –16 < 0. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức –16x² + 8x – 1 mang dấu "–" là:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình –16x² + 8x – 1 là 

e) 2x² + x + 3 < 0

Tam thức bậc hai 2x² + x + 3 có ∆ = 1² – 4 . 2 . 3 = – 23 < 0 và hệ số a = 2 > 0. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy 2x² + x + 3 > 0 (cùng dấu với a) với mọi x ∈ R.

Vậy bất phương trình 2x² + x + 3 < 0 vô nghiệm. 

g) –3x² + 4x – 5 < 0 

Tam thức bậc hai – 3x² + 4x – 5 có ∆ = 4² – 4.(–3).(–5) = –44 < 0 và hệ số a = –3.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy –3x² + 4x – 5 < 0 (cùng dấu với a) với mọi x ∈ R.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình –3x² + 4x – 5 < 0 là R