Giải bài 4 trang 27 Toán 8 Tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Chứng tỏ rằng:

a) M = 32^{2 023} – 32^{2 021} chia hết cho 31;

b) N = 7⁶ + 2 . 7³ + 8²⁰²² +1 chia hết cho 8.

Phân tích và hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, các em cần áp dụng các kiến thức sau:

1. Tính chất chia hết: Nếu một tích có một thừa số chia hết cho $a$, thì cả tích đó cũng chia hết cho $a$.

2. Rút gọn lũy thừa: Sử dụng quy tắc $x^a - x^b = x^b(x^{a-b} - 1)$.

3. Hằng đẳng thức: $A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2$.

Chúng ta sẽ biến đổi từng biểu thức để tìm ra một nhân tử chia hết cho số cần chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Ta cần phân tích M và N thành tích của các số trong đó có một số chia hết cho 31 và 8. Hoặc phân tích M và N thành tổng của các số trong đó các số này đều chia hết cho 31 và 8.

a) Ta có M = 32^{2 023} – 32^{2 021} 

 = 32² . 32^{2 021} – 32^{2 021}

 = (32² – 1) . 32^{2 021} 

 = (1024 – 1) . 32^{2 021} 

 = 1023 . 32^{2 021}

Vì 1023 ⋮ 31 nên (1023 . 32^{2 021}) ⋮ 31.

Do đó M = 32^{2 023} – 32^{2 021} chia hết cho 31

b) Ta có N = 7⁶ + 2.7³ + 8²⁰²² + 1

 = (7³)² + 2.7³ + 1 + 8²⁰²²

 = (7³ + 1)² + 8²⁰²² 

 = 344² + 8²⁰²².

Vì 344 ⋮ 8 và 8 ⋮ 8 nên 344² ⋮ 8; 8²⁰²² ⋮ 8.

Do đó (344² + 8²⁰²²) ⋮ 8

Vậy N = 7⁶ + 2.7³ + 8²⁰²² +1 chia hết cho 8.