Giải bài 3.5 trang 55 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Bài 3.5 trang 55 Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức:

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.

Giải bài 3.5 trang 55 Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức:

Gọi O là giao điểm của AC và BD như hình minh hoạ sau:

Xét ∆DOE và ∆COE có:

Vì OD ⊥ DE; OC ⊥ CE nên 

EC = ED (giả thiết);

Cạnh OE chung

⇒ ∆DOE = ∆COE (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ OC = OD (hai cạnh tương ứng) (*)

Vì vậy, ∆OCD cân tại O 

Vì ABCD là hình thang nên AB // CD

 (cặp góc so le trong).

 (vì )

⇒ ∆OAB cân tại O nên OA = OB (**)

Lại có: AC = OA + OC và BD = OB + OD (***)

Từ (*), (**) và (***) ⇒ AC = BD

Vậy hình thang ABCD có AC = BD nên ABCD là hình thang cân.