Giải bài 3.8 trang 55 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J. Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để chứng minh IJ là đường trung trực của AB, ta cần chứng minh hai điểm I và J cùng nằm trên đường trung trực của AB.

• Đường trung trực của một đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

• Do đó, ta cần chứng minh:

  1. Điểm I cách đều A và B (IA = IB).

  2. Điểm J cách đều A và B (JA = JB).

Từ hai điều kiện trên, ta có thể kết luận rằng I và J cùng nằm trên đường trung trực của AB, suy ra đường thẳng IJ chính là đường trung trực của AB.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ sau:

Vì ABCD là hình thang cân nên:   ; 

Xét ΔICD cân tại I (vì ) nên IC = ID

⇒ IC – BC = ID – AD, hay IB = IA

⇒ I cách đều A và B nên I nằm trên đường trung trực của AB (*)

• Xét ∆ABD và ∆BAC có:

AB là cạnh chung;

AD = BC (chứng minh trên).

 (chứng minh trên).

⇒ ∆ABD = ∆BAC (c-g-c)

 (hai góc tương ứng).

• Xét ∆JAB cân tại J (vì ) nên JA = JB

⇒ J cách đều A và B nên J nằm trên đường trung trực của AB (**)

Từ (*) và (**) ⇒ I, J cùng nằm trên đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.