Giải bài 2 trang 52 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu u₁ và công sai d.

a) u_n = 3 – 2n

b) 

c) u_n = 3ⁿ.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để kiểm tra một dãy số $\left(u_n\right)$ có phải là cấp số cộng, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định $u_{n+1}$: Thay $n$ bằng $n+1$ trong công thức $u_n$.

2. Tính hiệu số: Lập hiệu $u_{n+1} - u_n$.

3. Kết luận:

   • Nếu $u_{n+1} - u_n = d$ (hằng số): Dãy số là cấp số cộng với công sai $d$.

   • Nếu $u_{n+1} - u_n$ phụ thuộc vào $n$: Dãy số không là cấp số cộng.

4. Tìm $u_1$: Thay $n=1$ vào công thức $u_n$.

Lời giải chi tiết:

a) u_n = 3 – 2n

Ta có: u_n+1 = 3 – 2(n + 1) = 3 – 2n – 2 = 1 – 2n

Xét hiệu: u_n+1 – u_n = 1 – 2n – 3 + 3n = –2.

⇒ Dãy u_n = 3 – 2n là một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 1 và công sai d = –2.

b) 

Ta có:

Xét hiệu

⇒ Dãy  là một cấp số cộng có số hạng đầu u₁=2 và công sai d = 3/5

c) u_n = 3ⁿ

Ta có: u_n+1 = 3ⁿ⁺¹ = 3.3ⁿ

Xét hiệu u_n+1 – u_n = 3.3ⁿ – 3ⁿ = 2.3ⁿ với n ∈ ℕ*

⇒ Dãy u_n = 3ⁿ Không là một cấp số cộng.