Hotline 0936685849

Giải bài 1 trang 23 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

08:53:3430/03/2023

Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết Bài 1 trang 23 trong sách giáo khoa Toán 11 tập 1, bộ sách Chân trời sáng tạo. Bài toán này sẽ giúp các em củng cố kiến thức về công thức cộng lượng giác và cách tính giá trị lượng giác của các góc đặc biệt mà không cần sử dụng máy tính.

Đề bài:

Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:

a) $\small \frac{5\pi}{12}$

b) -555⁰

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để tính giá trị lượng giác của các góc này, chúng ta sẽ áp dụng các công thức sau:

Công thức cộng:
- $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$
- $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$
Tính chất hàm tuần hoàn:
- $sin (α + k 36 0^{\circ}) = sin α$
- $cos (α + k 36 0^{\circ}) = cos α$
- $tan (α + k 18 0^{\circ}) = tan α$
- $cot (α + k 18 0^{\circ}) = cot α$
Các góc đặc biệt: Sử dụng các góc đặc biệt như $3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, \dots$ để biến đổi góc đã cho.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\small cos\frac{5\pi}{12}=cos\left ( \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6} \right )$ $\dpi{100} \small =cos\frac{\pi}{4}.cos\frac{\pi}{6}-sin\frac{\pi}{4}.sin\frac{\pi}{6}$

$\small =\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\dpi{100} \small sin\frac{5\pi}{12}=sin\left ( \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6} \right )$ $\dpi{100} \small =sin\frac{\pi}{4}.cos\frac{\pi}{6}+cos\frac{\pi}{4}.sin\frac{\pi}{6}$

$\dpi{100} \small =\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\small tan\frac{5\pi}{12}=\frac{sin\frac{5\pi}{12}}{cos\frac{5\pi}{12}}$ $\small =\frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

$\small =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$ $\small =\frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1}=2+\sqrt{3}$

$\dpi{100} \small cot\frac{5\pi}{12}=\frac{1}{tan\frac{5\pi}{12}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$

$\small =\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$

b) Ta có:

$\small -555^0=\frac{\pi.(-555^0)}{180^0}$ $\small =-\frac{37\pi}{12}=-\left ( 3\pi+\frac{\pi}{12} \right )(rad)$

Nên có:

$\small cos(-555^0)=cos\left ( 3\pi+\frac{\pi}{12} \right )=-cos\frac{\pi}{12}$

$\small =-cos\left (\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} \right )=-\left ( cos\frac{\pi}{3}cos\frac{\pi}{4}+sin\frac{\pi}{3}sin\frac{\pi}{4} \right )$

$\small =-\left ( \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} \right )=-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$\dpi{100} \small sin(-555^0)=-sin\left ( 3\pi+\frac{\pi}{12} \right )=sin\frac{\pi}{12}$

$\dpi{100} \small =sin\left (\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} \right )=sin\frac{\pi}{3}cos\frac{\pi}{4}-cos\frac{\pi}{3}sin\frac{\pi}{4}$

$\dpi{100} \small =\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\small tan(-555^0)=\frac{sin(-555^0)}{cos(-555^0)}$ $\small =\frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{-(\sqrt{6}+\sqrt{2})}$

$\small =\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{-(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}=\frac{6-2\sqrt{12}+2}{-(6-2)}$ $\small =\frac{8-4\sqrt{3}}{-4}=-2+\sqrt{3}$

$\dpi{100} \small cot(-555^0)=\frac{1}{tan(-555^0)}=\frac{1}{-2+\sqrt{3}}$

$\small =\frac{(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=\frac{\sqrt{3}+2}{3-4}=-\sqrt{3}-2$

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện được cách tính giá trị lượng giác của các góc đặc biệt bằng cách sử dụng công thức cộng và tính chất tuần hoàn. Nắm vững các công thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán lượng giác phức tạp.

• Xem thêm:

Bài 2 trang 23 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Tính...

Bài 3 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:...

Bài 4 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Rút gọn các biểu thức sau:...

Bài 5 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:...

Bài 6 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Chứng minh rằng tam giác ABC, ta có:...

Bài 7 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông...

Bài 8 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Trong Hình 4, pít – tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại...

Bài 9 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua bin gió...