Bài 9.4 trang 82 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức: Chứng minh hai tam giác cân đồng dạng

Bài 9.4 trang 82 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M. Biết rằng $\widehat{BAC}=\widehat{PMN}$, AB = 2MN. Chứng minh ∆MNP ∽∆ABC và tìm tỉ số đồng dạng.

Phân tích bài toán

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa (chứng minh các góc tương ứng bằng nhau) hoặc sử dụng các trường hợp đồng dạng (c.c.c, c.g.c, g.g).

• Đặc điểm tam giác cân: Nếu biết góc ở đỉnh, ta hoàn toàn có thể tính được các góc ở đáy.

• Mối liên hệ: Nếu hai tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau thì các góc ở đáy của chúng cũng sẽ bằng nhau.

Giải Bài 9.4 trang 82 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh họa sau:

1. Chứng minh các góc tương ứng bằng nhau

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên theo tính chất tam giác cân, ta có:

Tương tự, $\Delta MNP$ cân tại $M$ nên ta có:

Theo giả thiết, ta có $\widehat{A} = \widehat{M}$. Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:

2. Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Xét $\Delta MNP$ và $\Delta ABC$ có:

• $\widehat{M} = \widehat{A}$ (giả thiết)

• $\widehat{N} = \widehat{B}$ (chứng minh trên)

  $$\Rightarrow \Delta MNP \backsim \Delta ABC \text{ (g.g)}$$

3. Tìm tỉ số đồng dạng $k$

Tỉ số đồng dạng $k$ là tỉ số giữa các cạnh tương ứng của $\Delta MNP$ và $\Delta ABC$:

Theo giả thiết: $AB = 2MN \Rightarrow \frac{MN}{AB} = \frac{1}{2}$

Vậy tỉ số đồng dạng là $k = 1/2$.

Cách giải khác (Sử dụng trường hợp c.g.c)

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A \Rightarrow AB = AC$.

Vì $\Delta MNP$ cân tại $M \Rightarrow MN = MP$.

Xét $\Delta MNP$ và $\Delta ABC$ có:

• $\widehat{M} = \widehat{A}$ (giả thiết)

• $\frac{MN}{AB} = \frac{MP}{AC} = \frac{1}{2}$ (do $AB = AC = 2MN = 2MP$)

  $$\Rightarrow \Delta MNP \backsim \Delta ABC \text{ (c.g.c)}$$

Tổng kết kiến thức

• Định lý: Hai tam giác cân có một cặp góc ở đỉnh bằng nhau (hoặc một cặp góc ở đáy bằng nhau) thì đồng dạng với nhau.

• Tỉ số đồng dạng: Luôn bằng tỉ số của hai cạnh bên hoặc hai cạnh đáy tương ứng.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn tỉ số đồng dạng: Viết $k = 2$ thay vì $k = 1/2$. Hãy nhớ tỉ số $k$ tính theo thứ tự tam giác viết trước chia cho tam giác viết sau ($\Delta MNP$ so với $\Delta ABC$).

• Quên chứng minh góc ở đáy: Nhiều bạn thừa nhận ngay các góc đáy bằng nhau mà không trình bày bước tính toán qua $180^\circ$, điều này có thể bị trừ điểm trong bài thi tự luận.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán trắc nghiệm về tam giác cân:

1. Chỉ cần kiểm tra một yếu tố về góc (góc đỉnh bằng nhau hoặc góc đáy bằng nhau) là đủ kết luận đồng dạng.

2. Tỉ số đồng dạng $k$ chính là tỉ số giữa các kích thước tương ứng. Nếu cạnh tam giác này bằng một nửa cạnh tam giác kia thì $k = 1/2$.