Bài 9.3 trang 82 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức: Tìm các tam giác đồng dạng từ trung điểm các cạnh

Bài 9.3 trang 82 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong Hình 9.9, ABC là tam giác không cân; M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Hãy tìm trong hình năm tam giác khác nhau mà chúng đôi một đồng dạng với nhau. Giải thích vì sao chúng đồng dạng.

Phân tích bài toán

Mấu chốt của bài toán này nằm ở kiến thức về đường trung bình của tam giác.

1. Tính chất: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

2. Định lý liên quan: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Giải Bài 9.3 trang 82 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

1. Các tam giác con đồng dạng với tam giác ABC

• Xét $\Delta ABC$ có $P, N$ là trung điểm $AB, AC$: Suy ra $PN$ là đường trung bình $\Rightarrow PN // BC$. Theo định lý về tam giác đồng dạng, ta có: $\Delta APN \backsim \Delta ABC$.

• Xét $\Delta ABC$ có $P, M$ là trung điểm $AB, BC$: Suy ra $PM$ là đường trung bình $\Rightarrow PM // AC$. Theo định lý, ta có: $\Delta PBM \backsim \Delta ABC$.

• Xét $\Delta ABC$ có $N, M$ là trung điểm $AC, BC$: Suy ra $NM$ là đường trung bình $\Rightarrow NM // AB$. Theo định lý, ta có: $\Delta NMC \backsim \Delta ABC$.

2. Các tam giác con đồng dạng với nhau

Vì các tam giác $\Delta APN, \Delta PBM, \Delta NMC$ cùng đồng dạng với $\Delta ABC$ (theo tính chất bắc cầu), nên chúng đôi một đồng dạng với nhau.

Cụ thể, xét $\Delta APN$ và $\Delta PBM$ ta có:

• $\widehat{A} = \widehat{BPM}$ (hai góc đồng vị do $MP // AC$).

• $\widehat{B} = \widehat{APN}$ (hai góc đồng vị do $PN // BC$).

• $\widehat{C} = \widehat{ANP} = \widehat{PMB}$ (các cặp góc đồng vị).

  Do đó, $\Delta APN \backsim \Delta PBM$. Tương tự với các cặp còn lại.

3. Xét tam giác thứ năm: $\Delta MNP$ (Tam giác trung tâm)

Xét $\Delta APN$ và $\Delta MNP$:

• $PN$ là cạnh chung.

• $\widehat{APN} = \widehat{MNP}$ (hai góc so le trong do $AB // NM$).

• $\widehat{ANP} = \widehat{MPN}$ (hai góc so le trong do $AC // MP$).

  $\Rightarrow \Delta APN = \Delta MNP$ (g.c.g).

  Vì hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau, nên $\Delta MNP \backsim \Delta APN$.

Kết luận: Năm tam giác đôi một đồng dạng với nhau là:

$\Delta ABC, \Delta APN, \Delta PBM, \Delta NMC, \Delta MNP$.

Tổng kết kiến thức

• Đường trung bình: Tạo ra các cặp đường thẳng song song, từ đó tạo ra các tam giác đồng dạng theo định lý cơ bản.

• Tính chất bắc cầu: Nếu $\Delta 1 \backsim \Delta 2$ và $\Delta 2 \backsim \Delta 3$ thì $\Delta 1 \backsim \Delta 3$.

• Tam giác trung điểm: Một tam giác được tạo bởi 3 đường trung bình của tam giác gốc sẽ chia tam giác gốc thành 4 tam giác nhỏ bằng nhau và cùng đồng dạng với tam giác gốc theo tỉ số $k = 1/2$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Viết sai thứ tự đỉnh: Luôn phải đối chiếu các góc bằng nhau để viết đúng ký hiệu đồng dạng (ví dụ: $\Delta APN \backsim \Delta ABC$).

• Thiếu tam giác MNP: Nhiều bạn chỉ liệt kê các tam giác ở 3 đỉnh mà quên mất tam giác tạo bởi 3 đường trung bình ở giữa.

Mẹo giải nhanh

Đối với dạng bài có 3 trung điểm cạnh:

1. Bạn có 4 tam giác nhỏ bằng nhau bên trong.

2. Cả 4 tam giác nhỏ này đều đồng dạng với tam giác lớn ban đầu.

3. Vậy có tổng cộng 5 tam giác đồng dạng đôi một.