Bài 7.22 trang 59 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.22 trang 59 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là một tam giác đều và (SAD) ⊥ (ABCD).

a) Tính chiều cao của hình chóp.

b) Tính khoảng cách giữa BC và (SAD).

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AB và SD.

Giải bài 7.22 trang 59 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Kẻ SE ⊥ AD tại E.

Vì (SAD) ⊥ (ABCD), (SAD) ∩ (ABCD) = AD

Mà SE ⊥ AD nên SE ⊥ (ABCD).

Vì ΔSAD là tam giác đều cạnh a nên SE = 

Vậy chiều cao của hình chóp bằng

b) Vì ABCD là hình vuông nên BC // AD,

⇒ BC // (SAD).

Khi đó d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD)).

Vì ABCD là hình vuông nên AB ⊥ AD

Mà SE ⊥ (ABCD) nên SE ⊥ AB.

Vì AB ⊥ AD và SE ⊥ AB nên AB ⊥ (SAD).

Do đó d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD)) = AB = a.

c) Kẻ AF ⊥ SD tại F, mà AB ⊥ (SAD) nên AB ⊥ AF.

Vì AF ⊥ SD và AB ⊥ AF nên AF là đường vuông góc chung của AB và SD.

Vì tam giác SAD đều có AF là đường cao nên AF =

Vậy d(AB, SD) = AF =