Giải bài 7 trang 61 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75%

a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032.

b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán có hai yêu cầu chính:

a) Dự đoán dân số vào năm 2032: Ta sẽ sử dụng công thức cấp số nhân để tính dân số vào năm 2032.

b) Ước tính năm dân số tăng gấp đôi: Ta sẽ lập một phương trình từ điều kiện dân số tăng gấp đôi và giải phương trình mũ để tìm năm.

Để giải bài toán này, ta coi dân số qua các năm là một cấp số nhân.

• Số hạng đầu (u₂₀₂₂​): Dân số năm 2022 là 2,1 triệu người.

• Công bội ($q$): Tốc độ tăng trưởng 0,75% mỗi năm, nên $q=1+0,75\%=1,0075$.

• Công thức số hạng tổng quát: u_n​=u₁​⋅qⁿ⁻¹. Trong trường hợp này, ta có thể viết u_n​=u₂₀₂₂​⋅qⁿ⁻²⁰²².

Lời giải chi tiết:

Dân số của thành phố từ năm 2022 lần lượt tạo thành cấp số nhân có công bội là 1+0,0075=1,0075

Dân số của thành phố vào năm n là:

 u_n = 2,1.1,0075^n-2022

a) Dân số của thành phố đó vào năm 2032 được dự tính như sau:

 u₂₀₃₂ = 2,1.1,0075^2032-2022 = 2,1.1,0075¹⁰ ≈ 2,263

b) Ước tính năm dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022 là:

 u_n = 2.u₂₀₂₂ = 1,0075^n-2022.u₂₀₂₂

⇔ 1,0075^n-2022 = 2

⇔ n = 2115

Vậy vào năm 2115 dân số sẽ gấp đôi năm 2022.