Giải bài 5 trang 60 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Tính các tổng sau:

a) 

b)  (n chữ số 9)

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán yêu cầu chúng ta tính tổng của hai dãy số khác nhau. Để giải quyết, chúng ta cần nhận diện loại dãy số và áp dụng công thức phù hợp.

• Câu a: Đây là một cấp số nhân vì tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Ta cần xác định số hạng đầu (u1​) và công bội ($q$) để sử dụng công thức tính tổng $n+1$ số hạng đầu của cấp số nhân. Lưu ý, dãy số có $n+1$ số hạng, từ 3⁰ đến 3ⁿ.

• Câu b: Dãy số không phải là cấp số nhân. Tuy nhiên, mỗi số hạng có thể được biểu diễn dưới dạng 10k−1. Ví dụ, $9=10-1$, 99=10²−1, v.v. Bằng cách này, chúng ta có thể tách tổng ban đầu thành hai tổng dễ tính hơn: một tổng của cấp số nhân và một tổng của các số 1.

Lời giải chi tiết:

a) 

Là cấp số nhân với u₁ = 1 và công bội q=1/3 nên

Vận dụng công thức: ta được

b) 

S_n = (10−1) + (10²−1) + (10³−1) +...+ (10ⁿ−1)

S_n= (10 + 10² + 10³ +...+ 10ⁿ) − n

Ta thấy S_n= (10 + 10² + 10³ +...+ 10ⁿ) là cấp số nhân với u₁ = 10 và q = 10

Nên: