Giải bài 5 trang 15 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Tính:

a) A = sin²5° + sin²10° + sin²15° + ... + sin²85° (17 số hạng).

b) B = cos5° + cos10° + cos15° + ... + cos175° (35 số hạng).

Phân tích và Hướng dẫn giải:

a) $A = \sin^2 5^\circ + \sin^2 10^\circ + \sin^2 15^\circ + \dots + \sin^2 85^\circ$

Tổng A có 17 số hạng, các góc cách đều 5∘ từ 5∘ đến 85∘.

Ta sẽ sử dụng công thức góc phụ (sinα=cos(90∘−α)) và hằng đẳng thức lượng giác cơ bản (sin2α+cos2α=1) để nhóm các số hạng.

• Số hạng ở giữa là $\sin^2 45^\circ$.

• Các số hạng khác sẽ được nhóm thành các cặp có tổng bằng $90^\circ$ (ví dụ: $5^\circ + 85^\circ = 90^\circ$).

b) $B = \cos 5^\circ + \cos 10^\circ + \cos 15^\circ + \dots + \cos 175^\circ$

Tổng B có 35 số hạng, các góc cách đều 5∘ từ 5∘ đến 175∘.

Ta sẽ sử dụng công thức góc bù (cosα=−cos(180∘−α)) để nhóm các số hạng có tổng bằng 180∘.

• Số hạng ở giữa là $\cos 90^\circ$.

• Các số hạng khác sẽ được nhóm thành các cặp có tổng bằng $180^\circ$ (ví dụ: $5^\circ + 175^\circ = 180^\circ$).

Lời giải chi tiết:

a) Theo bài ra, ta có:

A = sin²5° + sin²10° + sin²15° + ... + sin²80°+ sin²85° (17 số hạng).

= (sin²5° + sin²85°) + (sin²10° + sin²80°) + … + (sin²40° + sin²50°) + sin²45°

= (sin²5° + cos²5°) + (sin²10° + cos²10°) + … + (sin²40° + cos²40°) + sin²45°

b) Theo bài ra, ta có:

B = cos5° + cos10° + cos15° + ... + cos170° + cos175° (35 số hạng).

= (cos5° + cos175°) + (cos10° + cos170°) + … + (cos85° + cos95°) + cos90°

= (cos5° ‒ cos5°) + (cos10° ‒ cos10°) + … + (cos85° ‒ cos85°) + cos90°