Giải bài 3 trang 119 Toán 8 Tập 1 SGK Cánh Diều: Đường phân giác

Đề bài:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Chứng minh tứ giác AHDK là hình vuông.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để chứng minh một tứ giác là hình vuông, ta có thể làm theo một trong các cách sau:

1. Chứng minh nó là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.

2. Chứng minh nó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc.

3. Chứng minh nó là hình thoi có một góc vuông.

Trong bài toán này, chúng ta sẽ đi theo cách đầu tiên: chứng minh tứ giác AHDK là hình chữ nhật, sau đó chứng minh nó có hai cạnh kề bằng nhau.

• Bước 1: Chứng minh AHDK là hình chữ nhật.

  • Ta cần chứng minh tứ giác này có ba góc vuông.

  • Sử dụng giả thiết H, K là hình chiếu của D trên AB, AC.

• Bước 2: Chứng minh hai cạnh kề bằng nhau.

  • Sử dụng tính chất của tia phân giác của một góc. Theo định lí, một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

  • Áp dụng định lí này để chứng minh $DH=DK$.

Lời giải chi tiết bài 3 trang 119 Toán 8:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Xét tứ giác AHDK, ta có:

• Góc (vì  vuông tại A).

•  tại H (vì H là hình chiếu của D trên AB). Nên .

•  tại K (vì K là hình chiếu của D trên AC). Nên .

Tứ giác AHDK có ba góc vuông () nên AHDK là một hình chữ nhật.

Để chứng minh hình chữ nhật AHDK là hình vuông, ta cần chứng minh nó có hai cạnh kề bằng nhau, tức là . Vì AD là tia phân giác của góc  (hay ) và D là một điểm trên tia phân giác đó, ta có:

• Khoảng cách từ D đến cạnh AB bằng khoảng cách từ D đến cạnh AC.

• Suy ra  (theo định lí về tia phân giác).

Hình chữ nhật AHDK có hai cạnh kề bằng nhau (),

Nên AHDK là một hình vuông. (Điều phải chứng minh)