Giải bài 2.20 trang 55 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho biết dân số của một quốc gia vào năm 2020 là 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91% mỗi năm. Chúng ta cần ước tính dân số vào năm 2030.

Đây là một bài toán về sự tăng trưởng theo tỉ lệ phần trăm cố định, do đó có thể mô hình hóa bằng một cấp số nhân.

• Dân số năm 2020: 97 triệu người. Ta có thể coi đây là số hạng đầu tiên (u₁​) của cấp số nhân.

• Tốc độ tăng trưởng dân số mỗi năm: 0,91%.

• Tỉ lệ dân số năm sau so với năm trước: $100\%+0,91\%=100,91\%=1,0091$. Đây chính là công bội ($q$) của cấp số nhân.

• Dân số năm 2030: Chúng ta cần tìm số hạng tương ứng với năm 2030.

Để tìm số hạng này, ta cần xác định năm 2030 là năm thứ mấy trong dãy số, sau đó sử dụng công thức tính số hạng thứ $n$ của cấp số nhân: u_n​=u₁​⋅qⁿ⁻¹.

Lời giải chi tiết:

- Giả sử dân số của quốc gia đó là N.

- Vì tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91% nên sau một năm, số dân tăng thêm là: 0,91% . N.

→ Vậy dân số của quốc gia đó vào năm sau là: N + 0,91% . N = 100,91% . N = 1,0091N.

Như vậy, dân số của quốc gia đó sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân với: Số hạng đầu u₁ = N và công bội q = 1,0091.

- Theo bài ra ta có: u₁ = 97 ứng với năm 2020.

Ta có: 2030 – 2020 = 10.

⇒ Dân số của quốc gia đó vào năm 2030 chính là dân số của quốc gia sau 10 năm kể từ năm 2020, ứng với u₁₁ là:

u₁₁ = u₁ . q^{11 – 1} = 97 . 1,0091¹⁰ ≈ 106,2 (triệu người).

Vậy nếu tốc độ tăng trưởng dân số được giữ nguyên hằng năm thì dân số của quốc gia đó vào năm 2030 xấp xỉ khoảng 106,2 triệu người.