Giải bài 2.16 trang 55 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (u_n) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức tính số hạng tổng quát của nó dưới dạng u_n = u₁ . q^{n – 1}.

a) u_n = 5n;

b) u_n = 5ⁿ;

c) u₁ = 1, u_n = nu_{n – 1};

d) u₁ = 1, u_n = 5u_{n – 1}.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho bốn dãy số và yêu cầu chúng ta:

1. Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số.

2. Kiểm tra xem dãy số có phải là cấp số nhân hay không.

3. Nếu là cấp số nhân, tìm công bội $q$ và viết công thức số hạng tổng quát u_n​=u₁​⋅qⁿ⁻¹.

Để một dãy số (un​) là một cấp số nhân, tỉ số giữa một số hạng bất kì (từ số hạng thứ hai) với số hạng liền trước nó phải là một hằng số. Tức là,  (hằng số) với mọi $n\ge 1$.

Lời giải chi tiết:

a) Với dãy: u_n = 5n

• Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 5 . 1 = 5;

u₂ = 5 . 2 = 10;

u₃ = 5 . 3 = 15;

u₄ = 5 . 4 = 20;

u₅ = 5 . 5 = 25;

•  Với mọi n ≥ 2 ta có: 

  luôn thay đổi.

Vì vậy, dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

b) Với dãy: u_n = 5ⁿ

• Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 5¹ = 5;

u₂ = 5² = 25;

u₃ = 5³ = 125;

u₄ = 5⁴ = 625;

u₅ = 5⁵ = 3 125;

• Với mọi n ≥ 2 ta có: 

Nghĩa là: u_n = 5u_{n – 1} với mọi n ≥ 2.

Vì vậy, (u_n) là cấp số nhân với:

Số hạng đầu u₁ = 5,

Công bội q = 5

Và số hạng tổng quát là:  u_n = u₁ . q^{n – 1} = 5 . 5^{n – 1} = 5^{1 + n – 1} = 5ⁿ.

c) Với: u₁ = 1, u_n = nu_{n – 1}

• Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 1;

u₂ = 2 . u₁ = 2 . 1 = 2;

u₃ = 3 . u₂ = 3 . 2 = 6;

u₄ = 4 . u₃ = 4 . 6 = 24;

u₅ = 5 . u₄ = 5 . 24 = 120.

• Ta có:  luôn thay đổi với mọi n ≥ 2.

Vì vậy, dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

d) Với: u₁ = 1, u_n = 5u_{n – 1}

• Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 1;

u₂ = 5 . u₁ = 5 . 1 = 5;

u₃ = 5 . u₂ = 5 . 5 = 25;

u₄ = 5 . u₃ = 5 . 25 = 125;

u₅ = 5 . u₄ = 5 . 125 = 625.

• Ta có:  với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (u_n) là cấp số nhân với:

Số hạng đầu u₁ = 1,

Công bội q = 5

Và có số hạng tổng quát: u_n = u₁ . q^{n – 1} = 1 . 5^{n – 1} = 5^{n – 1}.