Giải bài 2 trang 30 Toán 10 tập 1 SGK Cánh Diều: Biểu diễn miền nghiệm

Đề bài:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

a) 

b)

c)

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để biểu diễn miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Vẽ các đường thẳng

• Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta vẽ đường thẳng tương ứng. Ví dụ, với bất phương trình $ax+by>c$, ta vẽ đường thẳng $d:ax+by=c$.

Bước 2: Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình

• Đối với bất phương trình $ax+by>c$ hoặc $ax+by<c$, miền nghiệm là một trong hai nửa mặt phẳng được tạo bởi đường thẳng $d$, không bao gồm đường thẳng $d$.

• Đối với bất phương trình $ax+by\ge c$ hoặc $ax+by\le c$, miền nghiệm là một trong hai nửa mặt phẳng được tạo bởi đường thẳng $d$, bao gồm cả đường thẳng $d$ (đường thẳng biên).

• Để xác định đúng nửa mặt phẳng, ta chọn một điểm bất kỳ không nằm trên $d$ (thường là gốc tọa độ $O(0;0)$) và thay vào bất phương trình. Nếu thỏa mãn, miền nghiệm chứa điểm đó; nếu không, miền nghiệm là nửa mặt phẳng còn lại.

Bước 3: Gạch bỏ và xác định giao

• Gạch bỏ các phần mặt phẳng không thuộc miền nghiệm của từng bất phương trình.

• Miền không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết bài 2 trang 30 Toán 10:

a) 

- Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:

d₁: 2x – 3y = 6;

d₂: 2x + y = 2.

- Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của từng bất phương trình của hệ.

⇒ Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không gạch sọc ở hình trên không kể đường thẳng d₁ và d₂.

b) 

- Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:

d₁: 2x + 5y = 10;

d₂: x – y = 4;

d₃: x = –2.

- Gạch đi những phần không thuộc miền nghiệm của từng bất phương trình của hệ.

Miền nghiệm của hệ là phần không bị gạch trong hình kể cả biên.

A là giao điểm của d₁ và d₃ nên A(–2; 2,8)

B là giao điểm của d₁ và d₂ nên B(30/7; 2/7)

C là giao điểm của d₂ và d₃ nên C(–2; –6).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC.

c) 

- Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:

d₁: x – 2y ≤ 5;

d₂: x + y ≥ 2;

d₃: x ≥ 0;

d₄: y ≤ 3.

- Gạch đi những phần không thuộc miền nghiệm của từng bất phương trình của hệ.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với A(0; 2), B(0; 3), C(11; 3), D(3; –1).