Công thức Lũy thừa (của một tích, một thương, số hữu tỉ) - Toán lớp 12

Vì vậy, để giải các bài toán về lũy thừa hay các phương trình mũ, phương trình logarit thì việc ghi nhớ các công thức về lũy thừa (của một tích, một thương hay lũy thừa của số hữu tỉ) và vận dụng linh hoạt là điều rất cần thiết. Bài viết này HayHocHoi sẽ tổng hợp đầy đủ các công thức về lũy thừa để các em tham khảo.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán bất phương trình mũ, bất phương trình logarit cực hay

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

a) Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên:

- Cho n là số nguyên dương và số thực a, khi đó:

•  (tích của n số a)

• Với mọi a ≠ 0: 

• Với mọi a ≠ 0: 

- Trong biểu thức a^m, ta gọi a là cơ số, m là số mũ.

* Lưu ý: 0⁰ và 0^-n không có nghĩa;

 Với n ≤ 0 thì aⁿ có nghĩa khi và chỉ khi a ≠ 0.

* Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức: 

° Lời giải:

- Có:  

b) Các công thức lũy thừa (của một tích, một thương, của số hữu tỉ,...)

* Đây là các tính chất về đẳng thức của lũy thừa: Với hai số thực a,b ≠ 0 và m, n là các số nguyên ta luôn có

•     •

•      •

•

c) Các tính chất về bất đẳng thức lũy thừa

* Cho m,n là các số nguyên dương, ta có:

 - Với a > 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m > n

 - Với 0 < a < 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m < n

→ Nhận xét: Với a > 0 thì a^m = aⁿ ⇔ m = n

* Cho 0 < a < b và số nguyên m, ta có:

 • a^m < b^m ⇔ m > 0

 • a^m > b^m ⇔ m < 0

→ Nhận xét: Với 0 < a < b thì a^m = b^m ⇔ m = 0.

2. Công thức căn bậc n

a) Định nghĩa căn bậc n

- Với n là số nguyên dương, căn bậc n của a là số thực b thỏa mãn: 

b) Các công thức về căn bậc n

* Tính chất của căn bậc n: Cho a, b ≥ 0, hai số nguyên dương m, n và hai số nguyên tùy ý p, q. Ta có:

•      •

•    •

• khi n lẻ;  khi n chẵn;

* Ví dụ: Rút gọn biểu thức:

a)    b)

° Hướng dẫn:

a) Ta có: 

b) Ta có: 

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

a) Định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Cho số thực a > 0 và số hữu tỉ  (m, n là hai số nguyên, n > 0). Khi đó:

* Chú ý: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ chỉ được định nghĩa cho số thực dương.

b) Tính chất: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.

4. Lũy thừa với số mũ thực

a) Định nghĩa lũy thừa với số mũ thực:

- Cho số thực dương a và α là số vô tỉ. Khi đó, tồn tại dãy số hữu tỉ (r_n) có giới hạn α và

b) Tính chất (các công thức lũy thừa với số mũ thực)

- Lũy thừa với số mũ thực có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.

* Công thức lũy thừa với số mũ thực

 - Cho a, b là những số thực dương; α, β là những số thực tùy ý. Ta có:

 •     •

 •   •

 •

- Nếu a > 1 thì  khi và chỉ khi 

- Nếu a < 1 thì  khi và chỉ khi 

* Ví dụ (Bài 5 trang 57 SGK Toán Giải tích 12): Chứng minh rằng:

a)   b)

° Lời giải:

a) ,

- Ta có: 

b)

- Ta có: