Chứng minh biểu thức lượng giác không phụ thuộc vào biến - Toán 10 chuyên đề

Vậy làm thế nào để giải quyết dạng toán này một cách chính xác? Hãy cùng HayHocHoi.Vn tìm hiểu phương pháp giải và các ví dụ minh họa chi tiết dưới đây.

I. Phương pháp chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

Để giải dạng bài tập này, chúng ta cần thực hiện các phép biến đổi lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị chứa biến (thường là $x$ hoặc $\alpha$).

• Nguyên tắc: Sử dụng các công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích... để rút gọn biểu thức $A(x)$ về dạng $A(x) = C$ (với $C$ là một hằng số).

• Các hệ thức cơ bản cần nhớ:

  • $\sin^2x + \cos^2x = 1$

  • $\tan x \cdot \cot x = 1$

  • Các công thức phụ nhau, bù nhau, hơn kém $\pi$...

II. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức cơ bản

a) Chứng minh $A = \sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$ không phụ thuộc x

Lời giải:

Áp dụng công thức cộng:

$A = \left(\sin\frac{\pi}{4}\cos x + \cos\frac{\pi}{4}\sin x\right) - \left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x + \sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)$

$A = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right) = 0$

Kết luận: Biểu thức $A = 0$, không phụ thuộc vào $x$.

b) Chứng minh $B = \cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right) - \sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)$ không phụ thuộc x

Lời giải:

$B = \left(\cos\frac{\pi}{6}\cos x + \sin\frac{\pi}{6}\sin x\right) - \left(\sin\frac{\pi}{3}\cos x + \cos\frac{\pi}{3}\sin x\right)$

$B = \cos x\left(\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{3}\right) + \sin x\left(\sin\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{3}\right)$

Vì $\cos\frac{\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\sin\frac{\pi}{6} = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ nên:

$B = \cos x \cdot 0 + \sin x \cdot 0 = 0$

Kết luận: Biểu thức $B = 0$, không phụ thuộc vào $x$.

c) Chứng minh $C = \sin^2x + \cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)$ không phụ thuộc x

Lời giải:

$C = \sin^2x + \left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x + \sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x - \sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)$

$C = \sin^2x + \cos^2\frac{\pi}{3}\cos^2x - \sin^2\frac{\pi}{3}\sin^2x$

$C = \sin^2x + \frac{1}{4}\cos^2x - \frac{3}{4}\sin^2x = \frac{1}{4}\sin^2x + \frac{1}{4}\cos^2x$

$C = \frac{1}{4}(\sin^2x + \cos^2x) = \frac{1}{4}$

Kết luận: Biểu thức $C = \frac{1}{4}$, không phụ thuộc vào $x$.

d) Chứng minh $D = \frac{1-\cos2x+\sin2x}{1+\cos2x+\sin2x} \cdot \cot x$ không phụ thuộc x

Lời giải:

Sử dụng công thức nhân đôi: $1-\cos2x = 2\sin^2x$ và $1+\cos2x = 2\cos^2x$

$D = \frac{2\sin^2x + 2\sin x\cos x}{2\cos^2x + 2\sin x\cos x} \cdot \cot x = \frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)} \cdot \cot x$

$D = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cot x = \tan x \cdot \cot x = 1$

Kết luận: Biểu thức $D = 1$, không phụ thuộc vào $x$.

Ví dụ 2: Các biểu thức nâng cao

a) Chứng minh $E = \cos^2(\alpha + x) + \cos^2x - 2\cos\alpha\cos x\cos(\alpha + x)$ không phụ thuộc x

Lời giải:

$E = \cos(\alpha + x)[\cos(\alpha + x) - 2\cos\alpha\cos x] + \cos^2x$

$E = \cos(\alpha + x)[\cos\alpha\cos x - \sin\alpha\sin x - 2\cos\alpha\cos x] + \cos^2x$

$E = \cos(\alpha + x)[-\cos\alpha\cos x - \sin\alpha\sin x] + \cos^2x$

$E = -\cos(\alpha + x)\cos(\alpha - x) + \cos^2x$

Sử dụng tích thành tổng: $E = -\frac{1}{2}(\cos2\alpha + \cos2x) + \cos^2x$

$E = -\frac{1}{2}\cos2\alpha - \frac{1}{2}(2\cos^2x - 1) + \cos^2x = -\frac{1}{2}\cos2\alpha + \frac{1}{2} = \sin^2\alpha$

Kết luận: Biểu thức không phụ thuộc vào $x$.

b) Chứng minh $F = \sin4x\sin10x - \sin11x\sin3x - \sin7x\sin x$ không phụ thuộc x

Lời giải:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng:

$F = \frac{1}{2}(\cos6x - \cos14x) - \frac{1}{2}(\cos8x - \cos14x) - \frac{1}{2}(\cos6x - \cos8x)$

$F = \frac{1}{2}(\cos6x - \cos14x - \cos8x + \cos14x - \cos6x + \cos8x) = 0$

Kết luận: Biểu thức $F = 0$, không phụ thuộc vào biến $x$.