Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số, hàm có trị tuyệt đối và bài tập - Toán 10

Bài viết này sẽ hướng dẫn các em quy trình các bước xét tính chẵn lẻ, đặc biệt là đối với các dạng hàm số chứa dấu trị tuyệt đối và căn thức.

1. Kiến thức cần nhớ về hàm số chẵn, hàm số lẻ

• Hàm số chẵn: Hàm số $y = f(x)$ với tập xác định $D$ được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x) = f(x)$.

  • Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung ($Oy$) làm trục đối xứng.

• Hàm số lẻ: Hàm số $y = f(x)$ với tập xác định $D$ được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x) = -f(x)$.

  • Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ ($O$) làm tâm đối xứng.

• Lưu ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ. Nếu không thỏa mãn điều kiện $f(-x) = f(x)$ hoặc $f(-x) = -f(x)$, ta kết luận hàm số không có tính chẵn lẻ.

2. Các bước xét tính chẵn lẻ của hàm số

Để xác định tính chẵn lẻ, các em thực hiện theo quy trình 3 bước sau:

• Bước 1: Tìm tập xác định $D$.

  • Kiểm tra tính đối xứng của tập $D$: Nếu tồn tại $x_0 \in D$ mà $-x_0 \notin D$, kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ. Nếu thỏa mãn $x \in D \Rightarrow -x \in D$, chuyển sang bước 2.

• Bước 2: Tính $f(-x)$ bằng cách thay $x$ bằng $-x$ trong biểu thức của hàm số.

• Bước 3: So sánh $f(-x)$ với $f(x)$:

  • Nếu $f(-x) = f(x) \Rightarrow$ Hàm số chẵn.

  • Nếu $f(-x) = -f(x) \Rightarrow$ Hàm số lẻ.

  • Nếu không thuộc hai trường hợp trên $\Rightarrow$ Hàm số không chẵn, không lẻ.

3. Một số bài tập vận dụng chi tiết

Bài tập 1: Xét tính chẵn lẻ cơ bản

a) $y = f(x) = |x|$

TXĐ $D = \mathbb{R}$.

Ta có $f(-x) = |-x| = |x| = f(x) \Rightarrow$ Hàm số chẵn.

b) $y = f(x) = (x + 2)^2$:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $f(-x) = (-x + 2)^2 = (x - 2)^2$. Vì $f(-x) \neq f(x)$ và $f(-x) \neq -f(x)\Rightarrow$ Hàm số không chẵn, không lẻ.

c) $y = f(x) = x^3 + x$

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -(x^3 + x) = -f(x) \Rightarrow$ Hàm số lẻ.

Bài 2: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số chứa dấu căn

a) $f(x) = 2x^3 + 3\sqrt[3]{x}$

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$.

• Xét $f(-x)$: $f(-x) = 2(-x)^3 + 3\sqrt[3]{-x} = -2x^3 - 3\sqrt[3]{x} = -(2x^3 + 3\sqrt[3]{x}) = -f(x)$.

• Kết luận: Hàm số là hàm số lẻ.

b) $f(x) = 2x^2 + \sqrt{x^2 + 5}$

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$.

• Xét $f(-x)$: $f(-x) = 2(-x)^2 + \sqrt{(-x)^2 + 5} = 2x^2 + \sqrt{x^2 + 5} = f(x)$.

• Kết luận: Hàm số là hàm số chẵn.

c) $f(x) = \sqrt{2x + 6} + \sqrt{6 - 2x}$

• Điều kiện xác định: $\begin{cases} 2x + 6 \geq 0 \\ 6 - 2x \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq -3 \\ x \leq 3 \end{cases} \Rightarrow D = [-3; 3]$.

• Với mọi $x \in [-3; 3]$ thì $-x \in [-3; 3]$.

• Xét $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt{2(-x) + 6} + \sqrt{6 - 2(-x)} = \sqrt{6 - 2x} + \sqrt{6 + 2x} = f(x)$.

• Kết luận: Hàm số là hàm số chẵn.

d) $f(x) = \sqrt{5 + x} + \frac{2}{\sqrt{5 - x}}$

• Điều kiện xác định: $\begin{cases} 5 + x \geq 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq -5 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow D = [-5; 5)$.

• Ta thấy tồn tại $x_0 = -5 \in D$ nhưng $-x_0 = 5 \notin D$.

• Kết luận: Tập xác định không đối xứng, hàm số không chẵn, không lẻ.

Bài tập 3: Xét hàm số có trị tuyệt đối

$f(x) = |x + 3| - |x - 3|$

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• $f(-x) = |-x + 3| - |-x - 3| = |x - 3| - |x + 3| = -(|x + 3| - |x - 3|) = -f(x)$.

• Kết luận: Hàm số lẻ.

Bài 4: Xác định tính chẵn lẻ của hàm số chứa trị tuyệt đối và căn thức

Đề bài: Xét tính chẵn lẻ của hàm số $f(x) = \frac{|x + 2| + |x - 2|}{\sqrt{x^2 - |x|}}$

Lời giải:

• TXĐ: Điều kiện $x^2 - |x| > 0 \Leftrightarrow |x|^2 - |x| > 0 \Leftrightarrow |x|(|x| - 1) > 0 \Leftrightarrow |x| > 1$.

  $\Rightarrow D = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. Tập $D$ đối xứng qua gốc tọa độ.

• Xét $f(-x)$:

  $$f(-x) = \frac{|(-x) + 2| + |(-x) - 2|}{\sqrt{(-x)^2 - |-x|}} = \frac{|-(x - 2)| + |-(x + 2)|}{\sqrt{x^2 - |x|}}$$
  $$= \frac{|x - 2| + |x + 2|}{\sqrt{x^2 - |x|}} = f(x)$$

• Kết luận: Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Bài 5: Xác định tham số m để hàm số là hàm chẵn

Đề bài: Cho hàm số $f(x) = \frac{x^2(x^2 - 2) + (2m^2 - 2)x}{\sqrt{x^2 + 1} - m}$. Tìm $m$ để hàm số là hàm số chẵn.

Lời giải:

• Để hàm số là hàm chẵn thì $f(-x) = f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.

• Ta có: $f(-x) = \frac{x^2(x^2 - 2) - (2m^2 - 2)x}{\sqrt{x^2 + 1} - m}$.

• $f(-x) = f(x) \Leftrightarrow \frac{x^2(x^2 - 2) - (2m^2 - 2)x}{\sqrt{x^2 + 1} - m} = \frac{x^2(x^2 - 2) + (2m^2 - 2)x}{\sqrt{x^2 + 1} - m}$

  $\Leftrightarrow 2(2m^2 - 2)x = 0$ với mọi $x$ thuộc TXĐ.

  $\Leftrightarrow 2m^2 - 2 = 0 \Leftrightarrow m^2 = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$.

• Thử lại:

  • Với $m = 1$: $f(x) = \frac{x^2(x^2 - 2)}{\sqrt{x^2 + 1} - 1}$. TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Đây là hàm chẵn.

  • Với $m = -1$: $f(x) = \frac{x^2(x^2 - 2)}{\sqrt{x^2 + 1} + 1}$. TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Đây là hàm chẵn.

• Kết luận: Vậy $m = \pm 1$ là giá trị cần tìm.

4. Bài tập tự luyện

Bài 1: Khảo sát tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) $f(x) = |2x + 1| + |2x - 1|$ (Đáp án: Chẵn)

b) $f(x) = \frac{|x+1| + |x-1|}{|x+1| - |x-1|}$ (Đáp án: Lẻ)

c) $f(x) = \frac{|x+2| + |x-2|}{\sqrt{x^2-|x|}}$ (Đáp án: Chẵn)

Bài 2: Cho hàm số $f(x) = (m - 2)x^2 + (m - 3)x + m^2 - 4$.

a) Tìm $m$ để $f(x)$ là hàm chẵn. (Đáp án: $m = 3$)

b) Tìm $m$ để $f(x)$ là hàm lẻ. (Đáp án: $m = 2$ và $m^2 - 4 = 0 \Rightarrow m = 2$)

Hy vọng bài viết này giúp các em nắm vững phương pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số. Hãy luyện tập nhiều dạng bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng giải toán nhé! Chúc các em học tốt!