Hệ phương trình đối xứng loại 2, Cách giải và Bài tập vận dụng (chi tiết nhất) - Toán lớp 10

Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ khái niệm, nắm vững quy trình giải và vận dụng vào các bài tập minh họa cụ thể nhất.

1. Hệ phương trình đối xứng loại 2 là gì?

Hệ phương trình đối xứng loại 2 theo ẩn $x$ và $y$ hiểu đơn giản là hệ phương trình mà khi ta đổi vai trò (vị trí) của hai ẩn $x$ và $y$ thì hai phương trình trong hệ sẽ hoán đổi cho nhau (nghĩa là phương trình 1 trở thành phương trình 2 và ngược lại).

Dạng tổng quát:

Ví dụ:

Khi thay $x$ bằng $y$ và $y$ bằng $x$ ở phương trình trên, ta thu được chính xác phương trình dưới.

2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Để giải dạng toán này, phương pháp chủ đạo là trừ vế theo vế để xuất hiện nhân tử chung $(x - y)$.

• Bước 1: Trừ hai phương trình của hệ cho nhau vế theo vế để thu được một phương trình mới.

• Bước 2: Biến đổi phương trình mới về dạng phương trình tích: $(x - y) \cdot g(x, y) = 0$.

• Bước 3: Giải các trường hợp:

  • Trường hợp 1: $x = y$. Thế vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm nghiệm.

  • Trường hợp 2: $g(x, y) = 0$. Giải tìm mối liên hệ khác giữa $x$ và $y$ (nếu có).

• Bước 4: Kết luận tập nghiệm của hệ phương trình.

3. Bài tập vận dụng có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Giải hệ phương trình cơ bản

Giải hệ phương trình:

Lời giải: Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta được:$(x^2 - y^2) - 5x + 5y + 4y - 4x = 0$$\Leftrightarrow (x - y)(x + y) - 9(x - y) = 0$$\Leftrightarrow (x - y)(x + y - 9) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y \\ x + y = 9 \end{array} \right.$

• TH1: Với $x = y$. Thay vào (1): $x^2 - 5x + 4x = 0 \Leftrightarrow x^2 - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0 \\ x = 1 \Rightarrow y = 1 \end{array} \right.$

• TH2: Với $x = 9 - y$. Thay vào (2): $y^2 - 5y + 4(9 - y) = 0 \Leftrightarrow y^2 - 9y + 36 = 0$. Phương trình này vô nghiệm (do $\Delta = -63 < 0$).

Kết luận: Hệ có nghiệm $(x; y) \in \{(0; 0); (1; 1)\}$.

Bài tập 2: Giải hệ phương trình chứa căn thức

Giải hệ phương trình:

Lời giải: Điều kiện: $x \ge 3, y \ge 3$. Trừ vế theo vế hai phương trình, ta có:$(\sqrt{x+4} - \sqrt{y+4}) + (\sqrt{y-3} - \sqrt{x-3}) = 0$ Sử dụng phương pháp nhân liên hợp:$\Leftrightarrow \frac{x-y}{\sqrt{x+4}+\sqrt{y+4}} - \frac{x-y}{\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}} = 0$$\Leftrightarrow (x-y) \left( \frac{1}{\sqrt{x+4}+\sqrt{y+4}} - \frac{1}{\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}} \right) = 0$

• TH1: $x = y$. Thay vào phương trình đầu: $\sqrt{x+4} + \sqrt{x-3} = 7$. Bình phương và giải phương trình ta được $x = 12 \Rightarrow y = 12$ (Thỏa mãn).

• TH2: Biểu thức trong ngoặc bằng 0 (Vô nghiệm do điều kiện $x, y$).

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất $(12; 12)$.

Bài tập 3: Bài toán chứa tham số m

Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất:

Lời giải: Trừ hai phương trình: $x - y = y^2 - x^2 - y + x \Leftrightarrow (x - y)(x + y - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y \\ x = 2 - y \end{array} \right.$ Để hệ có nghiệm duy nhất, ta xét các điều kiện của phương trình bậc 2 theo $m$ (thông thường là điều kiện $\Delta = 0$). Kết quả tìm được là $m = 1$.

4. Bài tập tự luyện

Các em hãy áp dụng quy trình trên để giải các bài tập sau:

1. $\begin{cases} x+\sqrt{y-1}=1 \\ y+\sqrt{x-1}=1 \end{cases}$

2. $\begin{cases} 2x+y=\frac{3}{x^2} \\ 2y+x=\frac{3}{y^2} \end{cases}$

3. $\begin{cases} x^3=y^2+7x^2-mx \\ y^3=x^2+7y^2-my \end{cases}$ (Tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất).