Cách giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 và Bài tập vận dụng - Toán lớp 10

Tiếp tục nội dung về hệ phương trình, bài này chúng ta sẽ tìm hiểu hệ phương trình đẳng cấp là gì? cách giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 như thế nào?

» Đừng bỏ lỡ: Tổng hợp các dạng toán giải phương trình, hệ phương trình và bài tập có lời giải

1. Khái niệm phương trình đẳng cấp

- Hệ phương trình đẳng cấp là hệ gồm 2 phương trình 2 ẩn mà ở mỗi phương trình bậc của mỗi ẩn bằng nhau:

  với  f, g là các hàm số với hai biến x, y có bậc bằng nhau.

* Ví dụ: Có hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 như sau: 

2. Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Cho hệ phương trình đẳng cấp dạng: 

• Để giải hệ phương trình đẳng cấp, chúng ta phải thực hiện cơ bản qua 3 bước sau:

+ Bước 1: Nhân phương trình (1) với a₂ và phương trình (2) với a₁ rồi trừ hai phương trình để làm mất hệ số tự do;

+ Bước 2: Phương trình có hai ẩn x và y. Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Nếu x = 0 hoặc y = 0 thay vào phương trình để tìm ra y hoặc x. Thử lại kết quả vừa tìm được bằng cách thay vào hệ phương trình;

- Trường hợp 2: Nếu x khác 0 hoặc y khác 0, chia cả hai vế của phương trình cho bậc cao nhất của ẩn x hoặc y;

+ Bước 3: Giải phương trình với ẩn x/y hoặc y/x rồi sau đó giải tìm nghiệm của hệ phương trình.

* Ví dụ 1: Giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 sau: 

> Lời giải:

- Nhân pt(2) ở dưới của hệ với 2, ta được: 

- Trừ pt(2) cho pt(1) của hệ mới này, ta được: 7y² - 5xy = 0

 ⇔ y(7y - 5x) = 0

 ⇔ y = 0 hoặc 7y = 5x

+ TH1: Với y = 0 ta thay vào pt(1) được 2x² = 8 ⇔ x = ± 2.

 Hệ có nghiệm (x;y) = {(2;0);(-2;0)}

+ TH2: Với 5x = 7y ⇒ x= (7y)/5 thay vào pt(1) được: 

Kết luận: hệ có 4 cặp nghiệm.

* Ví dụ 2: Giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 sau: 

> Lời giải:

- Nhân pt(2) ở dưới với 3 ta được hệ tương đương mới:

- Trừ vế với vế hai phương trình của hệ trên được:

 2x² + 4y² - 6xy = 0 (3)

Xét trường hợp: x = 0 ta thế vào pt(3) được: y = 0; thay vào pt(1) hệ ban đầu thấy 0 = 3 (vô lý) ⇒ x = 0 không phải là nghiệm của hệ.

Chia hai vế pt(3) cho x² ta được:

  (4)

Đặt t = y/x ta được (4) tương đương: 4t² - 6t + 2 = 0

 ⇔ 2t² - 3t + 1 = 0⇔ t =  1 hoặc t = 1/2.

Với t = 1 ⇒ x = y thế vào hệ pt ta được:  ⇒ vô lý (loại)

Với t = 1/2 ⇒ x = 2y thế vào hệ ta được:

Kết luận: Vậy hệ pt đã cho có 2 cặp nghiệp là: (x;y) = {(2;1); (-2;-1)}

* Ví dụ 3: Giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 3 sau:

> Lời giải:

- Ta có:  

Trừ vế với vế của pt(2) cho pt(1) ta được:

 x³ - 6xy² + 4y³ = 0 (3)

- Nếu y = 0 thay vào pt(3) ta được x = 0 thay vào pt(1) ta thấy 0 = 18 (vô lý). Nên y = 0 không phải là nghiệm của hệ.

- Vậy y ≠ 0, chia 2 vế của pt(3) cho y³ được:

  (4)

Đặt t = x/y thì pt(4) tương đương: t³ - 6t + 4 = 0

⇔ (t - 2)(t² + 2t - 2) = 0

⇔ t = 2 hoặc t = -1 + √3 ≈ 0,732 hoặc t = -1 - √3 ≈ -2,732

+ Với t = 2 suy ra x = 2y thay vào pt(1) ta được:

 8y³ + y ³ = 9 ⇔ 9y³ = 9 ⇔ y = 1 ⇒ x =2. ta được cặp nghiệm (x;y) = (2;1)

+ Với t = -1 + √3 suy ra x ≈ 0,732y thay vào pt(1) và giải ta được: y ≈ 1,86285 ⇒ x ≈ 1,363606

+ Với t = -1 - √3 suy ra x = -2,732y thay vào pt(1) và giải ta được: y ≈ -0,77425 ⇒ x ≈ 2,115243

Kết luận: Hệ có 3 cặp nghiệm.