Giải bài 8 trang 10 Toán 10 Tập 2 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài 8 trang 10 Toán 10 CTST:

Tìm giá trị của m để:

a) 2x² + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ R

b) mx² + 5x - 3 ≤ 0 với mọi x ∈ R

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ luôn cùng dấu trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:

1. Tam thức luôn dương ($f(x) > 0$): $\Delta < 0$ và $a > 0$.

2. Tam thức luôn âm ($f(x) < 0$): $\Delta < 0$ và $a < 0$.

3. Tam thức luôn không dương ($f(x) \le 0$): $\Delta \le 0$ và $a < 0$. (Trường hợp $\Delta = 0$ làm cho $f(x) = 0$ tại nghiệm kép).

a) $f(x) = 2x^2 + 3x + m + 1 > 0$ trên $\mathbb{R}$

1. Hệ số $a$: $a = 2$.

2. Điều kiện: Cần $\Delta < 0$.

b) $g(x) = mx^2 + 5x - 3 \le 0$ trên $\mathbb{R}$

1. Hệ số $a$: $a = m$. Ta phải xét trường hợp $a = m = 0$ riêng biệt.

2. Điều kiện: Cần $\Delta \le 0$ và $a < 0$.

Lời giải chi tiết bài 8 trang 10 Toán 10:

a) Tam thức: f(x) = 2x² + 3x + m + 1

 có Δ = 3² - 4.2.(m + 1) = 1 - 8m

 vì a = 2 > 0 nên để f(x) > 0 với mọi x ∈ R khi và chỉ khi

 Δ < 0 ⇔ 1 - 8m < 0 ⇔ m > 1/8.

Vậy với m > 1/8 thì 2x² + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ R

b) Ta thức: g(x) = mx² + 5x - 3 ≤ 0

 Có Δ = 5² - 4.m.(-3) = 25 + 12m

Để g(x) ≤ 0 với mọi x ∈ R khi và chỉ khi:

Vậy với m ≤ -25/12 thì mx² + 5x - 3 ≤ 0 với mọi x ∈ R