Giải bài 2 trang 13 Toán 10 Tập 2 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài 2 trang 13 Toán 10 CTST:

Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) 2x² – 15x + 28 ≥ 0;

b) – 2x² + 19x + 255 > 0;

c) 12x² < 12x – 8;

d) x² + x – 1 ≥ 5x² – 3x.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bất phương trình bậc hai $f(x) \diamondsuit 0$, ta thực hiện các bước:

1. Chuyển vế và đưa về dạng chuẩn $f(x) = ax^2 + bx + c$.

2. Tính $\Delta$ và tìm nghiệm (nếu có).

3. Áp dụng quy tắc xét dấu ("trong trái, ngoài cùng" đối với $\Delta > 0$; cùng dấu $a$ đối với $\Delta \le 0$) để xác định tập nghiệm $S$.

Lời giải chi tiết bài 2 trang 13 Toán 10:

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 15x + 28

có ∆ = (-15)² – 4.2.28 = 1 > 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ = 4, x₂ = 7/2 và hệ số a = 2 > 0.

Do đó f(x) dương với mọi x thuộc hai khoảng (-∞; 4) và (7/2; +∞) và f(x) = 0 với x = 4, x = 7/2.

Kết luận: Bất phương trình 2x² – 15x + 28 ≥ 0 có tập nghiệm là S = (-∞; 4] ∪ [7/2; +∞).

b) Tam thức bậc hai g(x) = – 2x² + 19x + 255

có ∆ = 19² – 4.(-2).255 = 2 401 > 0.

Do đó g(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 17, x₂ = -15/2 và hệ số a = - 2 < 0.

Suy ra g(x) dương khi x thuộc khoảng (-15/2; 17).

Kết luận: Bất phương trình – 2x² + 19x + 255 > 0 có tập nghiệm S = (-15/2; 17).

c) Ta có: 12x² < 12x – 8 ⇔ 12x² – 12x + 8 < 0

Tam thức bậc hai h(x) = 12x² – 12x + 8 có ∆ = (-12)² – 4.12.8 = -240 < 0.

Do đó h(x) vô nghiệm và hệ số a = 12 > 0.

Suy ra h(x) dương với mọi giá trị của x.

Vậy bất phương trình 12x² < 12x – 8 vô nghiệm.

d) Ta có: x² + x – 1 ≥ 5x² – 3x ⇔ -4x² + 4x – 1 ≥ 0

Tam thức bậc hai k(x) = –4x² + 4x – 1 có ∆ = 4² – 4.(-4).(-1) = 0.

Do đó k(x) có nghiệm kép x₁ = x₂ = 1/2 và a = -4 < 0.

Suy ra k(x) = 0 khi x = 1/2 và k(x) < 0 với mọi x ≠ 1/2.

Vậy bất phương trình x² + x – 1 ≥ 5x² – 3x có tập nghiệm S = {1/2}.