Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu và bài tập vận dụng - Toán 10 chuyên đề

Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết phương pháp giải và các dạng bài tập vận dụng từ cơ bản đến nâng cao trong chương trình Toán lớp 10.

I. Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải quyết một phương trình có chứa ẩn ở mẫu thức, các em cần tuân thủ quy trình 4 bước sau:

• Bước 1: Tìm tập xác định (Điều kiện xác định - ĐKXĐ) để các mẫu thức khác 0.

• Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng và khử mẫu hai vế của phương trình.

• Bước 3: Giải phương trình vừa thu được theo các phương pháp đã biết (phương trình bậc nhất, bậc hai...).

• Bước 4: Đối chiếu nghiệm tìm được với ĐKXĐ và kết luận nghiệm cuối cùng.

II. Bài tập giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Bài tập 1: Giải phương trình cơ bản

a) $x+1+\frac{2}{x+3}=\frac{x+5}{x+3}$ (*)

• ĐKXĐ: $x + 3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -3$.

• Biến đổi: $(*) \Leftrightarrow x+1 = \frac{x+5}{x+3} - \frac{2}{x+3} \Leftrightarrow x+1 = \frac{x+3}{x+3} \Leftrightarrow x+1 = 1 \Leftrightarrow x = 0$.

• Kết luận: $x = 0$ thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 0$.

b) $2x+\frac{3}{x-1}=\frac{3x}{x-1}$ (*)

• ĐKXĐ: $x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$.

• Biến đổi: $(*) \Leftrightarrow 2x = \frac{3x}{x-1} - \frac{3}{x-1} \Leftrightarrow 2x = \frac{3(x-1)}{x-1} \Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = 3/2$.

• Kết luận: $x = 3/2$ thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm $x = 3/2$.

Bài tập 2: Quy đồng và khử mẫu phức tạp

a) $\frac{x^2+3x+2}{2x+3}=\frac{2x-5}{4}$ (*)

• ĐKXĐ: $x \neq -3/2$.

• Quy đồng: $4(x^2 + 3x + 2) = (2x - 5)(2x + 3) \Leftrightarrow 4x^2 + 12x + 8 = 4x^2 - 4x - 15$.

• Rút gọn: $16x = -23 \Leftrightarrow x = -23/16$.

• Kết luận: $x = -23/16$ thỏa mãn ĐKXĐ.

b) $\frac{2x+3}{x-3}-\frac{4}{x+3}=\frac{24}{x^2-9}+2$ (*)

• ĐKXĐ: $x \neq \pm 3$.

• Quy đồng mẫu chung $(x-3)(x+3)$:

  $(2x+3)(x+3) - 4(x-3) = 24 + 2(x^2-9)$

  $\Leftrightarrow 2x^2 + 9x + 9 - 4x + 12 = 2x^2 + 6$

  $\Leftrightarrow 5x = -15 \Leftrightarrow x = -3$.

• Kết luận: $x = -3$ không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình vô nghiệm.

III. Dạng toán tích hợp (Căn thức và Trị tuyệt đối)

Bài tập 3: Phương trình chứa ẩn ở mẫu và dưới dấu căn

a) $\frac{x^2-4x-2}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2}$ (*)

• ĐKXĐ: $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$.

• Biến đổi: $x^2 - 4x - 2 = x - 2 \Leftrightarrow x^2 - 5x = 0 \Leftrightarrow x(x - 5) = 0$.

• Nghiệm $x = 0$ (loại) hoặc $x = 5$ (nhận).

• Kết luận: Nghiệm $x = 5$.

b) $\frac{2x^2-x-3}{\sqrt{2x-3}}=\sqrt{2x-3}$ (*)

• ĐKXĐ: $2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3/2$.

• Biến đổi: $2x^2 - x - 3 = 2x - 3 \Leftrightarrow 2x^2 - 3x = 0 \Leftrightarrow x(2x - 3) = 0$.

• Nghiệm $x = 0$ (loại) hoặc $x = 3/2$ (loại).

• Kết luận: Phương trình vô nghiệm.

Bài tập 4: Phương trình chứa ẩn ở mẫu và dấu trị tuyệt đối

$\frac{x-1}{2x-3}=\frac{-3x+1}{|x+1|}$ (*)

• ĐKXĐ: $x \neq 3/2$ và $x \neq -1$.

• TH1: $x > -1$ $\Rightarrow |x+1| = x+1$. Phương trình trở thành:

  $(x-1)(x+1) = (-3x+1)(2x-3) \Leftrightarrow 7x^2 - 11x + 2 = 0$.

  Nghiệm: $x = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{14}$ (Cả hai đều thỏa mãn $x > -1$).

• TH2: $x < -1$ $\Rightarrow |x+1| = -x-1$. Phương trình trở thành:

  $(x-1)(-x-1) = (-3x+1)(2x-3) \Leftrightarrow 5x^2 - 11x + 4 = 0$.

  Nghiệm: $x = \frac{11 \pm \sqrt{41}}{10}$ (Cả hai đều không thỏa mãn $x < -1$).

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{14}$.