Các dạng toán về Hàm số bậc nhất, Hàm số bậc hai và bài tập vận dụng - Toán lớp 10

Bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng toán về hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai cùng phương pháp giải để qua đó giúp các em dễ dạng vận dụng khi gặp các bài toán về hàm số. Trước khi đi vào hệ thống các dạng toán hàm số, chúng ta cần ôn lại nội dung lý thuyết.

» Đừng bỏ lỡ: Cách xét tính chắn lẻ của hàm số, hàm có trị tuyệt đối và bài tập cực hay

I. Lý thuyết về hàm số

1. Khái niệm hàm số

- Cho , hàm số f xác định trên D là một quy tắc cho tương ứng với mỗi x ∈ D với một và chỉ một số y:

 D là tập xác định của f: D = {x/x∈R:f(x) có nghĩa}

2. Đồ thị hàm số

- Đồ thị hàm số f trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x;f(x)) trên mặt phẳng tọa độ khi x thay đổi trên tập D.

- Nếu đồ thị của hàm số f trên tập D là một đường (ζ) thì y = f(x) là phương trình của (ζ).

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

- Hàm số f là đồng biến (tăng) trên (a;b) khi và chỉ khi:

- Hàm số f là nghịch biến (giảm) trên (a;b) khi và chỉ khi:

4. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

- Hàm số f là chẵn trên tập xác định D khi và chỉ khi:

- Nếu f(-x) = -f(x) thì f là hàm số lẻ

• Một số lưu ý:

- Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ

- Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

- Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng.

II. Các dạng toán về Hàm số, Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai

° Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

* Phương pháp:

- Đối với hàm hữu tỉ: 

 Tập xác định: 

- Đối với hàm vô tỉ: 

 Tập xác định:

♦ Ví dụ 1 (Bài 1 trang 38 SGK Toán 10): Tìm tập xác định của các hàm số:

a)      b) 

c) 

♠ Hướng dẫn:

a) xác định khi: 2x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ -1/2.

⇒ Vậy TXĐ của hàm:  là D = R{-1/2}.

b)  xác định khi: x² + 2x - 3 ≠ 0 

- Giải phương trình x² + 2x - 3 = 0 ⇔ (x-1)(x+3) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -3.

⇒ Vậy TXĐ của hàm:  là D=R{-3;1}

c)  

 Xác định khi: 

♦ Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số:

a)

b) 

♠ Hướng dẫn:

a) 

- Ta có: f(x) xác định ⇔ |x² - 1| + |x² - 5x + 4| ≠ 0

 ⇔ |(x - 1)(x + 1)| + |(x - 1)(x - 4)| ≠ 0

 ⇔ x ≠ 1.

- Vậy D = R{1}

b) 

- Ta có: f(x) xác định ⇔ 

- Vậy D = R.

° Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

* Phương pháp:

- Để khảo sát sự biến thiên của hàm f trong tập xác định D ta thực hiện như sau:

- Lập tỉ số: 

- Xét dấu tỉ số

- Kết luận.

♦ Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số 

♠ Hướng dẫn:

- Ta có: TXĐ: D = R{1}.

◊ Bước 1: Lập tỉ số:

  (do x₁ ≠ x₂)

◊ Bước 2: Xét dấu tỉ số

  với 

 với 

 Vậy 

⇒ f giảm trong D = R{1}.

♦ Ví dụ 2: Chứng minh hàm  tăng

♠ Hướng dẫn:

- Ta xét:  với x₁, x₂ >-1; x₁≠x₂.

- Vậy f tăng trong D = (-1;+∞)

° Dạng 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số

* Phương pháp:

- Để khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số ta thực hiện các bước sau:

- Với x ∈ D thì -x ∈ D..

- Thay x bởi -x và tính f(-x).

- Xét dấu:

 Nếu f(-x) = -f(x): f lẻ

 Nếu f(-x) = f(x): f chẵn

 Trường hợp khác: f không có tính chẵn lẻ

* Ví dụ (bài 4 trang 39 SGK Toán 10): Khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số

a) y =|x|

b) y = (x+2)²

c) y = x³ + x

d) y = x² + x + 1

♠ Hướng dẫn:

a) y =|x|

+ Tập xác định D = R nên với ∀ x ∈ D thì –x ∈ D.

+ f(–x) = |–x| = |x| = f(x).

⇒ Vậy hàm số y = |x| là hàm số chẵn.

b) y = f(x) = (x + 2)².

+ TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.

+ f(–x) = (–x + 2)² = (x – 2)² ≠ (x + 2)² = f(x)

+ f(–x) = (–x + 2)² = (x – 2)² ≠ –(x + 2)² = –f(x).

⇒ Vậy hàm số y = (x + 2)² không chẵn, không lẻ.

c) y = f(x) = x³ + x.

+ TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.

+ f(–x) = (–x)³ + (–x) = –x³ – x = – (x³ + x) = –f(x)

⇒ Vậy y = x³ + x là một hàm số lẻ.

d) y = f(x) = x² + x + 1.

+ TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.

+ f(–x) = (–x)² + (–x) + 1 = x² – x + 1 ≠ x² + x + 1 = f(x)

+ f(–x) = (–x)² + (–x) + 1 = x² – x + 1 ≠ –(x² + x + 1) = –f(x)

⇒ Vậy hàm số y = x² + x + 1 không chẵn, không lẻ.

° Dạng 4: Xác định hàm số bậc nhất

* Phương pháp:

- Hàm số bậc nhất có dạng: y = ax + b, xác định hàm số bậc nhất là xác định các hệ số:

 a: Hệ số góc của đường thẳng

 b: Tung độ gốc của đường thẳng

♦ Ví dụ 1 (bài 2 trang 42 SGK Đại số 10): Xác định a, b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua các điểm

a) A(0; 3) và B(3/5; 0)

b) A(1; 2) và B(2; 1);

c) A(15; -3) và B(21; -3).

♠ Hướng dẫn:

a) A(0; 3) và B(3/5; 0)

 A(0; 3) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ 3 = a.0 + b ⇒ b = 3.

 B(3/5; 0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ 0 = a.(3/5) + 3 ⇒ a = –5.

 Vậy a = –5; b = 3 ⇒ PT đường thẳng đi qua A, B là: y = -5x + 3

b) A(1; 2) và B(2; 1);

 A(1; 2) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ 2 = a.1 + b  (1)

 B(2; 1) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ 1 = 2.a + b  (2)

- Từ (1) ⇒ b = 2 - a thay vào (2) ta được:

 2a + 2 – a = 1 ⇒ a = –1 ⇒ b = 2 – a = 3.

 Vậy a = -1; b = 3 ⇒ PT đường thẳng đi qua A, B là: y = -x + 3

c) A(15; -3) và B(21; -3).

 A(15; –3) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ –3 = 15a + b  (1)

 B(21; –3) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ –3 = 21a + b  (2)

- Từ (1) ⇒ b = –3 – 15a thế vào (2) ta được:

 –3 – 15a +21a = –3 ⇒ 6a = 0 ⇒ a = 0 ⇒ b = –3.

 Vậy a = 0; b = –3 ⇒ PT đường thẳng đi qua A, B là: y = -3

♦ Ví dụ 2 (bài 3 trang 42 SGK Đại số 10): Viết phương trình y = ax + b của các đường thẳng:

a) Đi qua hai điểm A(4;3), B(2 ; -1);

b) Đi qua điểm A(1 ; -1) và song song với Ox.

♠ Hướng dẫn:

a) Ta có:

+ A (4; 3) thuộc đường thẳng y = ax + b ⇒ 3 = 4a + b (1)

+ B (2; –1) thuộc đường thẳng y = ax + b ⇒ –1 = 2a + b (2)

- Lấy (1) trừ (2) (giải hệ bằng PP cộng đại số) ta được:

 2a = 4 ⇒ a = 2 ⇒ b = –5.

⇒ Vậy a = 2; b = -5 ⇒ PT đường thẳng đi qua hai điểm A(4;3), B(2 ;–1) là y = 2x – 5.

b) Ta có:

+ Đường thẳng song song với Ox có dạng y = b.

+ Đường thẳng đi qua điểm A(1;–1) nên b = –1.

⇒ PT đường thẳng song song Ox và đi qua A(1;-1) là: y = –1.

° Dạng 5: Xác định hàm số bậc hai

* Phương pháp:

- Hàm số bậc 2 có dạng: y = ax² + bx + c (a≠0).

- Đồ thị hàm số bậc 2 là parabol (P) có:

 Hoàng độ đỉnh: x = (-b/2a).

 Trục đối xứng là đường thẳng (Δ); x = (-b/2a).

♦ Ví dụ 1 (bài 3 trang 49 SGK Đại số 10): Xác định parabol y =  ax² + bx + 2, biết rằng parabol đó:

a) Đi qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8);

b) Đi qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng là x = -3/2;

c) Có đỉnh là I(2;-2);

d) Đi qua điểm B(-1;6) và tung độ của đỉnh là -1/4.

♠ Hướng dẫn:

a) Ta có:

 + Parabol y = ax² + bx + 2 đi qua M(1 ; 5)

 ⇒ 5 = a.12 + b.1 + 2 ⇒ a + b = 3 (1) .

+ Parabol y = ax² + bx + 2 đi qua N(–2; 8)

 ⇒ 8 = a.( –2)² + b.( –2) + 2 ⇒ 4a – 2b = 6 (2).

- Từ (1) và (2) suy ra: a = 2; b = 1.

⇒ Vậy parabol đi qua M(1; 5) và N(-2; 8) có PT là: y = 2x² + x + 2.

b) Ta có:

+ Parabol y = ax² + bx + 2 có trục đối xứng x = –3/2

 ⇒ –b/2a = –3/2 ⇒ b = 3a (1)

+ Parabol y = ax² + bx + 2 đi qua điểm A(3;–4)

 ⇒ –4 = a.3² + b.3 + 2 ⇒ 9a + 3b = –6 (2).

- Thay b = 3a từ (1) vào (2) ta được:

 9a + 3.3a = –6 ⇒ 18a = –6 ⇒ a = –1/3 ⇒ b = –1.

⇒ Vậy parabol đi qua A(3;-4) và có trục đối xứng là x = -3/2 có PT là: y = –(1/3)x² – x + 2.

c) Ta có:

+ Parabol y = ax² + bx + 2 có đỉnh I(2;–2) nên có trục đối xứng x = 2, suy ra:

  (1)

+ Điểm I(2;-2) là đỉnh parabol nên có : a.2² + 2b + 2 = -2  (2)

- Từ (1) và (2) ta có: 4a - 8a = -4 ⇒ 4a = 4 ⇒ a = 1 ⇒ b =-4.

⇒ Vậy parabol cần tìm là y = x² – 4x + 2.

d) Ta có:

- Vì parabol qua điểm B(-1;6) nên tọa độ B là nghiệm đúng của PT parabol:

 a(-1)² + b(-1) + 2 = 6 ⇔ a + b = 4 (1)

- Parabol có tung độ của đỉnh là –1/4 nên có:

  (2)

- Từ (1) và (2) ta được: b² = 9(b + 4) ⇔ b² – 9b – 36 = 0.

 Giải PT này ta được: b = 12 hoặc b = –3

 Với b = 12 thì a = 16 ⇒ parabol là: y = 16x² + 12x + 2

 Với b = –3 thì a = 1 ⇒ parabol là: y = x² – 3x + 2.

♦ Ví dụ 2: Xác định parabol (P) đi qua 3 điểm A(-1;0), B(0;3), C(5,0)

♠ Hướng dẫn:

- Parabol có dạng: y = ax² + bx + c

- Điểm A(-1;0) ∈ (P) ⇔ 0 = a - b + c

- Điểm B(0;3) ∈ (P) ⇔ 3 = c

- Điểm C(5;0) ∈ (P) ⇔ 0 = 25a + 5b + c

- Giải hệ trên được: c = 3; a = (-3/5); b = (12/5)

- Vậy PT của (P) là: 

° Dạng 6: Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

* Phương pháp:

- Phần này hướng dẫn các em vẽ đồ thị hàm số dạng y = |ax + b|

- Dùng định nghĩa: 

 Chuyển hàm số về 2 hàm thành phần, mỗi hàm là hàm bậc nhất với Tập xác định riêng.

- Vẽ từng đồ thị thành phần với TXĐ riêng, đồ thị của hàm số là hợp của các đồ thị riêng.

♦ Ví dụ : Vẽ đồ thị (C) của hàm số y = |x| - 1.

♠ Hướng dẫn:

- Ta có: 

 Đồ thị (C) = (C₁) ∪ (C₂) là đường gấp khúc hình chữ V có đỉnh là điểm A(0;-1)

° Dạng 7: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai

* Phương pháp:

- Hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (a≠0) có đồ thị là parabol (P):

 Có đỉnh:  và trục đối xứng (Δ): 

- Đối với hàm bậc 2 có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta dùng định nghĩa

 |A| = A khi A ≥ 0

 |A| = -A khi A < 0

 Đưa vè hàm thành phần.

- Đối với hàm: y = |ax² + bx + c| ta thực hiện:

 Vẽ (P): y = ax² + bx + c 

 Giữ nguyên phần (P) trên Ox

 Lấy đối xứng phần (P) dưới Ox qua Ox.

♦ Ví dụ: Vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x² - 4|x| + 3.

♠ Hướng dẫn:

- Ta có: 

 Đồ thị gồm 2 nhánh parabol đối xứng qua Oy (hàm chẵn).