Các dạng toán về Hàm số bậc nhất, Hàm số bậc hai và bài tập vận dụng - Toán lớp 10

Bài viết này sẽ hệ thống lại toàn bộ lý thuyết và các dạng toán thường gặp cùng phương pháp giải chi tiết nhất.

I. Lý thuyết trọng tâm về hàm số

1. Khái niệm hàm số và Tập xác định

Cho $D \subset \mathbb{R}; D \neq \emptyset$, hàm số $f$ xác định trên $D$ là một quy tắc cho tương ứng với mỗi $x \in D$ với một và chỉ một số $y = f(x) \in \mathbb{R}$.

• Tập xác định (TXĐ): $D = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ có nghĩa}\}$.

2. Đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số $f$ trên tập $D$ là tập hợp tất cả các điểm $M(x; f(x))$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với $x \in D$.

3. Sự biến thiên của hàm số

• Đồng biến (tăng): $\forall x_1, x_2 \in (a;b), x_1 \neq x_2 \Rightarrow \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} > 0$.

• Nghịch biến (giảm): $\forall x_1, x_2 \in (a;b), x_1 \neq x_2 \Rightarrow \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} < 0$.

4. Hàm số chẵn và hàm số lẻ

• Hàm số chẵn: $f(-x) = f(x)$. Đồ thị đối xứng qua trục tung (Oy).

• Hàm số lẻ: $f(-x) = -f(x)$. Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

Việc làm chủ các dạng toán về hàm số ở lớp 10 là bước đệm cực kỳ quan trọng để các em tiếp cận với giải tích ở các lớp trên. Dưới đây là hệ thống các dạng toán thường gặp nhất.

II. Các dạng toán và ví dụ giải chi tiết

° Dạng 1: Tìm tập xác định (TXĐ) của hàm số

Phương pháp:

• Hàm $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$ xác định khi $Q(x) \neq 0$.

• Hàm $y = \sqrt{P(x)}$ xác định khi $P(x) \geq 0$.

♦ Ví dụ 1: Tìm TXĐ của các hàm số sau:

• a) $y = \frac{3x-2}{2x+1}$

  Điều kiện xác định: $2x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow 2x \neq -1 \Leftrightarrow x \neq -1/2$.

  Vậy TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1/2\}$.

• b) $y = \frac{x-1}{x^2+2x-3}$

  Điều kiện xác định: $x^2 + 2x - 3 \neq 0$.

  Giải phương trình $x^2 + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x+3) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -3$.

  Vậy TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-3; 1\}$.

• c) $y = \sqrt{2x+1} - \sqrt{3-x}$

  Điều kiện xác định: $\begin{cases} 2x+1 \geq 0 \\ 3-x \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x \geq -1 \\ -x \geq -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq -1/2 \\ x \leq 3 \end{cases}$.

  Vậy TXĐ: $D = [-1/2; 3]$.

♦ Ví dụ 2: Tìm TXĐ nâng cao:

• a) $y = \frac{3x-2}{|x^2-1| + |x^2-5x+4|}$

  Hàm số xác định khi $|x^2-1| + |x^2-5x+4| \neq 0$.

  Vì $|A| + |B| = 0 \Leftrightarrow A=0$ và $B=0$.

  Ta có: $x^2-1=0 \Leftrightarrow x = \pm 1$ và $x^2-5x+4=0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x=4$.

  Giá trị chung làm mẫu bằng 0 là $x = 1$. Vậy mẫu $\neq 0$ khi $x \neq 1$.

  TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

• b) $y = \frac{\sqrt{x^2-2x+1} - \sqrt{x^2-4x+4}}{\sqrt{x^2-x+1}}$

  Ta có $x^2-2x+1 = (x-1)^2 \geq 0$ và $x^2-4x+4 = (x-2)^2 \geq 0$ với mọi $x$.

  Xét mẫu: $x^2-x+1 = (x-1/2)^2 + 3/4 > 0$ với mọi $x$.

  Vậy TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

° Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Phương pháp: Xét tỉ số $k = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ với $x_1, x_2 \in D, x_1 \neq x_2$.

♦ Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên của $y = f(x) = \frac{2x}{x-1}$

TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Lấy $x_1, x_2 \in D, x_1 \neq x_2$:

$f(x_2) - f(x_1) = \frac{2x_2}{x_2-1} - \frac{2x_1}{x_1-1} = \frac{2x_2(x_1-1) - 2x_1(x_2-1)}{(x_2-1)(x_1-1)} = \frac{-2(x_2-x_1)}{(x_2-1)(x_1-1)}$.

$\Rightarrow k = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = \frac{-2}{(x_1-1)(x_2-1)}$.

Với mọi $x_1, x_2$ cùng thuộc $(-\infty; 1)$ hoặc cùng thuộc $(1; +\infty)$ thì $(x_1-1)(x_2-1) > 0$.

Suy ra $k < 0$. Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

♦ Ví dụ 2: Chứng minh hàm $y = \sqrt{2x+2}$ tăng trên $(-1; +\infty)$

$k = \frac{\sqrt{2x_2+2} - \sqrt{2x_1+2}}{x_2-x_1} = \frac{(2x_2+2) - (2x_1+2)}{(x_2-x_1)(\sqrt{2x_2+2} + \sqrt{2x_1+2})} = \frac{2}{\sqrt{2x_2+2} + \sqrt{2x_1+2}}$.

Vì $x_1, x_2 > -1$ nên mẫu số luôn dương $\Rightarrow k > 0$. Hàm số đồng biến.

° Dạng 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số

♦ Ví dụ: Khảo sát tính chẵn lẻ:

• a) $y = f(x) = |x|$: $D = \mathbb{R}$ đối xứng. $f(-x) = |-x| = |x| = f(x) \Rightarrow$ Hàm chẵn.

• b) $y = f(x) = (x+2)^2$: $D = \mathbb{R}$. $f(-x) = (-x+2)^2 = (x-2)^2$. Ta thấy $f(-x) \neq f(x)$ và $f(-x) \neq -f(x) \Rightarrow$ Không chẵn, không lẻ.

• c) $y = f(x) = x^3 + x$: $D = \mathbb{R}$. $f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3+x) = -f(x) \Rightarrow$ Hàm lẻ.

• d) $y = f(x) = x^2 + x + 1$: $f(-x) = (-x)^2 + (-x) + 1 = x^2 - x + 1 \Rightarrow$ Không chẵn, không lẻ.

° Dạng 4: Xác định hàm số bậc nhất $y = ax + b$

Phương pháp: Để xác định hàm số bậc nhất, ta cần tìm hai hệ số $a$ (hệ số góc) và $b$ (tung độ gốc). Thông thường, ta sẽ thay tọa độ các điểm mà đồ thị đi qua vào phương trình để lập hệ phương trình.

♦ Ví dụ 1: Xác định $a, b$ để đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua các điểm:

• a) $A(0; 3)$ và $B(3/5; 0)$:

  • $A(0; 3)$ thuộc đồ thị $\Rightarrow 3 = a \cdot 0 + b \Rightarrow b = 3$.

  • $B(3/5; 0)$ thuộc đồ thị $\Rightarrow 0 = a \cdot (3/5) + 3 \Rightarrow \frac{3}{5}a = -3 \Rightarrow a = -5$.

  • Vậy phương trình đường thẳng là: $y = -5x + 3$.

• b) $A(1; 2)$ và $B(2; 1)$:

  • Thay tọa độ $A, B$ ta có hệ: $\begin{cases} a + b = 2 \text{ (1)} \\ 2a + b = 1 \text{ (2)} \end{cases}$

  • Lấy (2) trừ (1) vế theo vế: $a = -1$.

  • Thay $a = -1$ vào (1): $-1 + b = 2 \Rightarrow b = 3$.

  • Vậy phương trình đường thẳng là: $y = -x + 3$.

• c) $A(15; -3)$ và $B(21; -3)$:

  • Thay tọa độ $A, B$ ta có hệ: $\begin{cases} 15a + b = -3 \\ 21a + b = -3 \end{cases}$

  • Lấy (2) trừ (1): $6a = 0 \Rightarrow a = 0$.

  • Thay $a = 0$ vào (1) $\Rightarrow b = -3$.

  • Vậy phương trình đường thẳng là: $y = -3$.

♦ Ví dụ 2: Viết phương trình $y = ax + b$ của các đường thẳng:

• a) Đi qua hai điểm $A(4; 3), B(2; -1)$:

  • $A(4; 3) \in \text{đường thẳng} \Rightarrow 3 = 4a + b \text{ (1)}$.

  • $B(2; -1) \in \text{đường thẳng} \Rightarrow -1 = 2a + b \text{ (2)}$.

  • Lấy (1) trừ (2) ta được: $2a = 4 \Rightarrow a = 2$.

  • Thay $a = 2$ vào (2): $-1 = 2 \cdot 2 + b \Rightarrow b = -5$.

  • Vậy phương trình đường thẳng là: $y = 2x - 5$.

• b) Đi qua điểm $A(1; -1)$ và song song với trục $Ox$:

  • Đường thẳng song song với trục $Ox$ luôn có dạng $y = b$.

  • Vì đường thẳng đi qua $A(1; -1)$ nên tung độ $b = -1$.

  • Vậy phương trình đường thẳng là: $y = -1$.

° Dạng 5: Xác định hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$)

Phương pháp: Sử dụng các dữ kiện về điểm đi qua, trục đối xứng ($x = -b/2a$), hoặc tọa độ đỉnh $I(-b/2a; -\Delta/4a)$ để thiết lập hệ phương trình tìm $a, b, c$.

♦ Ví dụ 1: Xác định parabol $y = ax^2 + bx + 2$ biết rằng parabol đó:

• a) Đi qua hai điểm $M(1; 5)$ và $N(-2; 8)$:

  • Thay $M(1; 5): a(1)^2 + b(1) + 2 = 5 \Rightarrow a + b = 3 \text{ (1)}$.

  • Thay $N(-2; 8): a(-2)^2 + b(-2) + 2 = 8 \Rightarrow 4a - 2b = 6 \text{ (2)}$.

  • Từ (1) và (2) ta có hệ, giải ra được: $a = 2, b = 1$.

  • Vậy Parabol là: $y = 2x^2 + x + 2$.

• b) Đi qua điểm $A(3; -4)$ và có trục đối xứng là $x = -3/2$:

  • Trục đối xứng $x = -b/2a = -3/2 \Rightarrow 2b = 6a \Rightarrow b = 3a \text{ (1)}$.

  • Đi qua $A(3; -4): a(3)^2 + b(3) + 2 = -4 \Rightarrow 9a + 3b = -6 \text{ (2)}$.

  • Thay (1) vào (2): $9a + 3(3a) = -6 \Rightarrow 18a = -6 \Rightarrow a = -1/3$.

  • Suy ra $b = 3 \cdot (-1/3) = -1$. Vậy Parabol là: $y = -\frac{1}{3}x^2 - x + 2$.

• c) Có đỉnh là $I(2; -2)$:

  • Trục đối xứng $x = -b/2a = 2 \Rightarrow b = -4a \text{ (1)}$.

  • Đỉnh $I(2; -2)$ thuộc đồ thị: $a(2)^2 + b(2) + 2 = -2 \Rightarrow 4a + 2b = -4 \text{ (2)}$.

  • Thay (1) vào (2): $4a + 2(-4a) = -4 \Rightarrow -4a = -4 \Rightarrow a = 1, b = -4$.

  • Vậy Parabol là: $y = x^2 - 4x + 2$.

• d) Đi qua điểm $B(-1; 6)$ và tung độ của đỉnh là $-1/4$:

  • Đi qua $B(-1; 6): a(-1)^2 + b(-1) + 2 = 6 \Rightarrow a - b = 4 \Rightarrow a = b + 4 \text{ (1)}$.

  • Tung độ đỉnh $-\Delta/4a = -1/4 \Rightarrow \Delta = a \Rightarrow b^2 - 4a \cdot 2 = a \Rightarrow b^2 = 9a \text{ (2)}$.

  • Thay (1) vào (2): $b^2 = 9(b + 4) \Leftrightarrow b^2 - 9b - 36 = 0$.

  • Giải phương trình bậc hai ta được $b = 12$ hoặc $b = -3$.

  • Với $b = 12 \Rightarrow a = 16$. Parabol: $y = 16x^2 + 12x + 2$.

  • Với $b = -3 \Rightarrow a = 1$. Parabol: $y = x^2 - 3x + 2$.

♦ Ví dụ 2: Xác định parabol $(P)$ đi qua 3 điểm $A(-1; 0), B(0; 3), C(5; 0)$:

• Parabol có dạng: $y = ax^2 + bx + c$.

• $B(0; 3) \in (P) \Rightarrow 3 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \Rightarrow c = 3$.

• $A(-1; 0) \in (P) \Rightarrow 0 = a(-1)^2 + b(-1) + 3 \Rightarrow a - b = -3 \text{ (1)}$.

• $C(5; 0) \in (P) \Rightarrow 0 = a(5)^2 + b(5) + 3 \Rightarrow 25a + 5b = -3 \text{ (2)}$.

• Giải hệ (1) và (2): Nhân (1) với 5 ta được $5a - 5b = -15$. Cộng với (2) ta được $30a = -18 \Rightarrow a = -3/5$.

• Thay $a = -3/5$ vào (1) $\Rightarrow -3/5 - b = -3 \Rightarrow b = 12/5$.

• Vậy phương trình Parabol là: $y = -\frac{3}{5}x^2 + \frac{12}{5}x + 3$.

° Dạng 6: Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải:

Để vẽ đồ thị hàm số dạng $y = |ax + b| + c$, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

1. Phá dấu giá trị tuyệt đối: Dùng định nghĩa $|A| = A$ nếu $A \geq 0$ và $|A| = -A$ nếu $A < 0$ để đưa hàm số về dạng hàm hợp bởi các hàm bậc nhất trên từng khoảng xác định.

2. Vẽ các đồ thị thành phần: Vẽ từng đường thẳng trên tập xác định tương ứng của chúng.

3. Kết luận: Đồ thị hàm số ban đầu là hợp của các nhánh đồ thị đã vẽ. Thông thường, đồ thị hàm số bậc nhất chứa một dấu giá trị tuyệt đối sẽ có hình chữ V.

♦ Ví dụ: Vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số $y = |x| - 1$.

♠ Hướng dẫn giải chi tiết:

• Bước 1: Phá dấu giá trị tuyệt đối

  Ta có:

  $$y = f(x) = \begin{cases} x - 1 & \text{khi } x \geq 0 \quad (C_1) \\ -x - 1 & \text{khi } x < 0 \quad (C_2) \end{cases}$$

• Bước 2: Vẽ các nhánh đồ thị

  • Với nhánh $(C_1): y = x - 1$ (khi $x \geq 0$):

    • Cho $x = 0 \Rightarrow y = -1$, ta được điểm $A(0; -1)$.

    • Cho $x = 1 \Rightarrow y = 0$, ta được điểm $B(1; 0)$.

    • Vẽ tia bắt đầu từ điểm $A$ đi qua điểm $B$.

  • Với nhánh $(C_2): y = -x - 1$ (khi $x < 0$):

    • Cho $x = 0 \Rightarrow y = -1$, ta được điểm $A(0; -1)$ (điểm chung).

    • Cho $x = -1 \Rightarrow y = 0$, ta được điểm $C(-1; 0)$.

    • Vẽ tia bắt đầu từ điểm $A$ đi qua điểm $C$.

• Bước 3: Kết luận

  Đồ thị $(C) = (C_1) \cup (C_2)$ là một đường gấp khúc hình chữ V, có đỉnh là điểm $A(0; -1)$.

° Dạng 7: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải:

Hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) có đồ thị là một Parabol $(P)$ với đỉnh $S\left( \frac{-b}{2a}; \frac{-\Delta}{4a} \right)$. Đối với hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta thường gặp hai loại chính:

Loại 1: Đồ thị hàm số $y = f(|x|) = ax^2 + b|x| + c$

• Đây là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung $Oy$.

• Cách vẽ:

  1. Vẽ đồ thị $(P): y = ax^2 + bx + c$.

  2. Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục $Oy$ (ứng với $x \geq 0$).

  3. Bỏ phần đồ thị bên trái $Oy$, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã giữ qua trục $Oy$.

Loại 2: Đồ thị hàm số $y = |f(x)| = |ax^2 + bx + c|$

• Cách vẽ:

  1. Vẽ đồ thị $(P): y = ax^2 + bx + c$.

  2. Giữ nguyên phần $(P)$ nằm phía trên trục hoành $Ox$ (ứng với $y \geq 0$).

  3. Lấy đối xứng phần $(P)$ nằm dưới trục $Ox$ qua trục $Ox$, sau đó bỏ phần dưới $Ox$ đi.

♦ Ví dụ: Vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số $y = x^2 - 4|x| + 3$.

♠ Hướng dẫn giải chi tiết:

• Bước 1: Phân tích hàm số

  Ta có $y = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & \text{khi } x \geq 0 \\ x^2 + 4x + 3 & \text{khi } x < 0 \end{cases}$

  Nhận thấy đây là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục $Oy$.

• Bước 2: Vẽ đồ thị nhánh bên phải $(x \geq 0)$

  Vẽ Parabol $(P_1): y = x^2 - 4x + 3$:

  • Tọa độ đỉnh: $x_I = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2 \Rightarrow y_I = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1$. Vậy đỉnh $I(2; -1)$.

  • Giao với $Oy$: $(0; 3)$.

  • Giao với $Ox$: $x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.

  • Giữ lại phần Parabol ứng với $x \geq 0$.

• Bước 3: Lấy đối xứng

  Lấy đối xứng phần đồ thị vừa vẽ qua trục tung $Oy$ để hoàn thiện đồ thị.

  • Đỉnh đối xứng sẽ là $I'(-2; -1)$.

  • Giao điểm $Ox$ đối xứng là $x = -1$ và $x = -3$.

• Kết luận: Đồ thị gồm hai nhánh Parabol đối xứng nhau qua trục tung, tạo thành hình dạng giống chữ W.