Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số, hàm có trị tuyệt đối và bài tập - Toán 10

Bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu cách xác định hàm số chẵn lẻ, đặc biệt là cách xét tính chẵn lẻ của hàm số có trị tuyệt đối. Qua đó vận dụng giải một số bài tập để rèn kỹ năng giải toán này.

» Đừng bỏ lỡ: Tổng hợp các dạng toán về hàm số bậc nhất và hàm số bậc 2 cực hay

1. Kiến thức cần nhớ hàm số chẵn, hàm số lẻ

• Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu: ∀x ∈ D thì -x ∈ D và f(-x) = f(x).

* Ví dụ: Hàm số y = x² là hàm số chẵn

- Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

• Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu: ∀x ∈ D thì -x ∈ D và f(-x) = -f(x).

* Ví dụ: Hàm số y = x là hàm số lẻ

- Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

• Chú ý: Một hàm số không nhât thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ.

* Ví dụ: Hàm số y = 2x + 1 không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ vì:

 Tại x = 1 có f(1) = 2.1 + 1 = 3

 Tại x = -1 có f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1

→ Hai giá trị f(1) và f(-1) không bằng nhau và cũng không đối nhau

2. Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số, hàm số có trị tuyệt đối

* Để xác định hàm số chẵn lẻ ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Tìm TXĐ: D

  Nếu ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D Chuyển qua bước ba

  Nếu ∃ x₀ ∈ D ⇒ -x₀ ∉ D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.

- Bước 2: Thay x bằng -x và tính f(-x)

- Bước 3: Xét dấu (so sánh f(x) và f(-x)):

 ° Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số f chẵn

 ° Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số f lẻ

 ° Trường hợp khác: hàm số f không có tính chẵn lẻ

3. Một số bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số

* Bài  tập 1 (Bài 4 trang 39 SGK Đại số 10): Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y = |x|;

b) y = (x + 2)²;

c) y = x³ + x;

d) y = x² + x + 1.

° Lời giải bài tập 1 (bài 4 trang 39 SGK Đại số 10): 

a) Đặt y = f(x) = |x|.

° TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.

° f(–x) = |–x| = |x| = f(x).

→ Vậy hàm số y = |x| là hàm số chẵn.

b) Đặt y = f(x) = (x + 2)².

° TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.

° f(–x) = (–x + 2)² = (x – 2)² ≠ (x + 2)² = f(x)

° f(–x) = (–x + 2)² = (x – 2)² ≠ – (x + 2)² = –f(x).

→ Vậy hàm số y = (x + 2)² làm hàm số không chẵn, không lẻ.

c) Đặt y = f(x) = x³ + x.

° TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)³ + (–x) = –x³ – x = – (x³ + x) = –f(x)

→ Vậy y = x³ + x là hàm số lẻ.

d) Đặt y = f(x) = x² + x + 1.

° TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)² + (–x) + 1 = x² – x + 1 ≠ x² + x + 1 = f(x)

° f(–x) = (–x)² + (–x) + 1 = x² – x + 1 ≠ –(x² + x + 1) = –f(x)

→ Vậy hàm số y = x² + x + 1 là hàm số không chẵn, không lẻ.

* Bài 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số có trị tuyệt đối sau: f(x) = |x + 3| - |x - 3|

° Lời giải:

 Với f(x) = |x + 3| - |x - 3|

- TXĐ: D = R

 f(-x) = |-x + 3| - |-x - 3| = |-(x - 3)| - |-(x + 3)| = |x - 3| - |x + 3| = -f(x).

→ Kết luận: hàm  f(x) = |x + 3| - |x - 3| là hàm số lẻ.

⇒ Vậy với  m = ± 1 thì hàm số đã cho là hàm chẵn.

4. Bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số

* Bài 1: Khảo sát tính chẵn lẻ của các hàm số có trị tuyệt đối sau

a) f(x) = |2x + 1| + |2x - 1|

b) f(x) = (|x + 1| + |x - 1|)/(|x + 1| - |x - 1|)

a) f(x) = |x - 1|².

° Đ/s: a) chẵn; b) lẻ; c) không chẵn, không lẻ.

* Bài 2: Cho hàm số f(x) = (m - 2)x² + (m - 3)x + m² - 4

a) Tìm m để hàm f(x) là hàm chẵn

b) Tìm m để hàm f(x) là hàm lẻ.

° Đ/s: a) m = 3; b) m = 2.