Cách chứng minh đẳng thức lượng giác lớp 10 - Toán Chuyên đề

Vậy làm thế nào để chinh phục dạng toán này một cách dễ dàng? Hãy cùng HayHocHoi.Vn tìm hiểu phương pháp giải và vận dụng vào các bài tập chi tiết dưới đây.

I. Phương pháp chứng minh đẳng thức lượng giác $A = B$

Để chứng minh một đẳng thức lượng giác, chúng ta thường áp dụng các chiến thuật sau:

• Biến đổi một vế: Vận dụng các công thức lượng giác cơ bản, công thức cộng, công thức nhân... để biến đổi vế phức tạp (giả sử là $A$) thành vế đơn giản hơn ($B$) hoặc ngược lại.

• Biến đổi hai vế: Biến đổi cả $A$ và $B$ cùng về một biểu thức trung gian $C$. Nếu $A = C$ và $B = C$ thì suy ra $A = B$.

• Biến đổi tương đương: Biến đổi đẳng thức $A = B$ về một đẳng thức luôn đúng (ví dụ: $0 = 0$ hoặc $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$).

• Chứng minh phản chứng: Giả sử đẳng thức sai rồi dùng lập luận toán học để chỉ ra sự mâu thuẫn.

II. Các ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức cơ bản

Chứng minh rằng: $\cos \alpha (1 + \cos \alpha)(\tan \alpha - \sin \alpha) = \sin^3 \alpha$

Lời giải:

Ta biến đổi vế trái (VT):

Mà $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$, do đó:

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 2: Vận dụng công thức cộng và công thức biến đổi

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{\cos(a-b)}{\cos(a+b)} = \frac{\cot a \cdot \cot b + 1}{\cot a \cdot \cot b - 1}$

b) $\sin(a+b) \sin(a-b) = \sin^2 a - \sin^2 b = \cos^2 b - \cos^2 a$

c) $\cos(a+b) \cos(a-b) = \cos^2 a - \sin^2 b = \cos^2 b - \sin^2 a$

Lời giải:

a) Ta có:

Chia cả tử và mẫu cho $\sin a \sin b$, ta được:

b) Ta có:

Áp dụng hằng đẳng thức $A^2 - B^2$:

Thay $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$:

Tiếp tục thay $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$:

c) Ta có:

Áp dụng công thức nhân đôi $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$:

• $\frac{1}{2} [ (2\cos^2 a - 1) + (1 - 2\sin^2 b) ] = \cos^2 a - \sin^2 b$

• $\frac{1}{2} [ (1 - 2\sin^2 a) + (2\cos^2 b - 1) ] = \cos^2 b - \sin^2 a \text{ (đpcm).}$