Cách tính khoảng cách giữa 2 điểm, khoảng cách từ điểm tới đường thẳng - Toán hình 10

Không những thế, đây còn là cơ sở quan trọng để các em tiếp cận các bài toán nâng cao hơn như tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, giữa hai mặt phẳng hay từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian. Bài viết này sẽ giúp các em ôn tập lý thuyết và nắm vững cách vận dụng qua các bài tập minh họa chi tiết.

I. Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm

Cho hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Khoảng cách giữa hai điểm này (cũng chính là độ dài đoạn thẳng $AB$) được tính theo công thức:

II. Công thức tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta: Ax + By + C = 0$ và điểm $M_0(x_0; y_0)$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến đường thẳng $\Delta$ (ký hiệu là $d(M_0, \Delta)$) là độ dài đoạn thẳng $M_0H$, với $H$ là hình chiếu vuông góc của $M_0$ lên $\Delta$.

Công thức xác định:

Lưu ý: Nếu đường thẳng $\Delta$ chưa được viết dưới dạng phương trình tổng quát, các em cần chuyển đổi về dạng tổng quát trước khi áp dụng công thức.

III. Bài tập vận dụng minh họa

Ví dụ 1: Tính độ dài đoạn thẳng

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A(1; 2)$ và $B(-3; 4)$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

• Lời giải:

  $$AB = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5}$$

Ví dụ 2: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cơ bản

Tính khoảng cách từ điểm $M(2; -1)$ đến đường thẳng $(\Delta): 3x + 4y + 7 = 0$.

• Lời giải:

  $$d(M, \Delta) = \frac{|3 \cdot 2 + 4(-1) + 7|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 - 4 + 7|}{5} = \frac{9}{5}$$

Ví dụ 3: Đưa phương trình về dạng tổng quát

Tính khoảng cách từ $A(0; 1)$ đến đường thẳng $(\Delta): 4x + 3y = 6$.

• Lời giải:

  Đưa về dạng tổng quát: $4x + 3y - 6 = 0$.

  $$d(A, \Delta) = \frac{|4 \cdot 0 + 3 \cdot 1 - 6|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-3|}{5} = \frac{3}{5}$$

Ví dụ 4: Đường thẳng cho dưới dạng tham số

Tính khoảng cách từ $M(1; 1)$ đến đường thẳng $(\Delta): \begin{cases} x = 3 + 3t \\ y = 2 + t \end{cases}$

• Lời giải:

  $(\Delta)$ đi qua $A(3; 2)$ và có VTCP $\vec{u}(3; 1) \Rightarrow$ VTPT $\vec{n}(1; -3)$.

  Phương trình tổng quát $(\Delta): 1(x - 3) - 3(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 3 = 0$.

  $$d(M, \Delta) = \frac{|1 - 3 \cdot 1 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$

Ví dụ 5: Bài toán tiếp tuyến đường tròn

Đường tròn $(C)$ tâm $O(0; 0)$ tiếp xúc với đường thẳng $(\Delta): 4x - 3y + 25 = 0$. Tìm bán kính $R$.

• Lời giải:

  Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên bán kính $R = d(O, \Delta)$.

  $$R = \frac{|4 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 25|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{25}{5} = 5$$

Ví dụ 6: Giao điểm hai đường thẳng

Tính khoảng cách từ giao điểm của $(d_1): x - 3y + 4 = 0$ và $(d_2): 2x + 3y - 1 = 0$ đến đường thẳng $\Delta: 3x + y + 16 = 0$.

• Lời giải:

  Tọa độ giao điểm $A$ là nghiệm của hệ: $\begin{cases} x - 3y = -4 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases} \Rightarrow A(-1; 1)$.

  $$d(A, \Delta) = \frac{|3(-1) + 1 + 16|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{14}{\sqrt{10}} = \frac{7\sqrt{10}}{5}$$

Ví dụ 7: Ứng dụng trong tam giác

Cho tam giác $ABC$ có $A(1; 1), B(0; 3), C(4; 0)$. Tính chiều cao $AH$ và diện tích tam giác.

• Lời giải:

  a) Viết PT đường thẳng $BC$: $\vec{BC} = (4; -3) \Rightarrow$ VTPT $\vec{n}(3; 4)$.

  PT $BC: 3(x - 0) + 4(y - 3) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0$.

  Chiều cao $AH = d(A, BC) = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-5|}{5} = 1$.

  b) $BC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = 5$.

  Diện tích $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 5 = 2,5$ (đvdt).