Hệ phương trình đối xứng loại 1: Cách giải và Bài tập vận dụng (dễ hiểu nhất) - Toán lớp 10

Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ khái niệm hệ đối xứng loại 1 là gì, nắm vững quy trình giải và thực hành qua các bài tập minh họa từ cơ bản đến nâng cao.

1. Khái niệm hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 theo ẩn $x$ và $y$ là hệ phương trình mà khi ta hoán đổi vai trò (vị trí) của hai ẩn $x$ và $y$ thì hệ phương trình vẫn không thay đổi.

Dạng tổng quát:

Ví dụ:

Nếu bạn thay $x$ thành $y$ và $y$ thành $x$, phương trình thứ nhất trở thành $y+yx+x=5$ (giống hệt ban đầu). Tương tự với phương trình thứ hai.

2. Kiến thức bổ trợ: Định lý Vi-ét đảo

Để giải hệ đối xứng loại 1, chúng ta cần sử dụng định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai:

• Nếu phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có 2 nghiệm $x_1, x_2$ thì:

  $$\begin{cases} S = x_1+x_2 = -\frac{b}{a} \\ P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \end{cases}$$

• Ngược lại (Vi-ét đảo): Nếu hai số $x, y$ có tổng $x+y=S$ và tích $xy=P$, thì $x$ và $y$ là nghiệm của phương trình bậc hai:

  $$X^2 - SX + P = 0$$

• Điều kiện để tồn tại $x, y$: $S^2 \geq 4P$.

3. Các bước giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Quy trình giải bài toán này thường trải qua 5 bước tối ưu:

• Bước 1: Biểu diễn từng phương trình của hệ qua $x+y$ và $xy$ (sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ).

• Bước 2: Đặt $S = x + y$ và $P = xy$. Điều kiện có nghiệm là $S^2 \geq 4P$. Ta được hệ mới chứa ẩn $S$ và $P$.

• Bước 3: Giải hệ phương trình với ẩn $S, P$ (sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số).

• Bước 4: Tìm được $S$ và $P$, khi đó $x$ và $y$ là nghiệm của phương trình bậc hai: $X^2 - SX + P = 0$.

• Bước 5: Kết luận nghiệm.

  • Lưu ý: Vì hệ đối xứng nên nếu $(x_0; y_0)$ là nghiệm thì $(y_0; x_0)$ cũng là nghiệm.

4. Bài tập vận dụng có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Giải hệ phương trình đa thức cơ bản

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x+xy+y=5 \\ x^2+xy+y^2=7 \end{cases} \quad (I)$

Lời giải:

Ta có: $(I) \Leftrightarrow \begin{cases} (x+y)+xy=5 \\ (x+y)^2-xy=7 \end{cases}$

Đặt $S = x + y, P = xy$ (ĐK: $S^2 \geq 4P$), ta được:

Với $S=3, P=2$, $x$ và $y$ là nghiệm của phương trình: $X^2 - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow X=1$ hoặc $X=2$.

Kết luận: Nghiệm của hệ là $(1;2), (2;1)$.

Bài tập 2: Giải hệ phương trình chứa căn thức

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}+4\sqrt{xy}=16 \\ x+y=10 \end{cases} \quad (I)$

Lời giải:

Điều kiện: $x \geq 0, y \geq 0$.

$(I) \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}+4\sqrt{xy}=16 \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-2\sqrt{xy}=10 \end{cases}$

Đặt $S = \sqrt{x} + \sqrt{y}, P = \sqrt{xy}$ (ĐK: $S, P \geq 0; S^2 \geq 4P$). Hệ trở thành:

Với $S=4, P=3$, $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là nghiệm của $X^2 - 4X + 3 = 0 \Leftrightarrow X=1$ hoặc $X=3$.

• TH1: $\sqrt{x}=1, \sqrt{y}=3 \Rightarrow (x;y) = (1;9)$.

• TH2: $\sqrt{x}=3, \sqrt{y}=1 \Rightarrow (x;y) = (9;1)$.

  Kết luận: Nghiệm của hệ là $(1;9), (9;1)$.

Bài tập 3: Tìm tham số m

Tìm $m$ để hệ có đúng hai nghiệm: $\begin{cases} x^2+y^2+2xy=4 \\ x^2+y^2=2(m+1) \end{cases}$

Lời giải:

Hệ trở thành: $\begin{cases} S^2=4 \\ S^2-2P=2(m+1) \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} S=2, P=1-m \\ S=-2, P=1-m \end{array} \right.$

Để hệ có đúng 2 nghiệm, ta xét phương trình $X^2 \mp 2X + 1 - m = 0 \Leftrightarrow (X \mp 1)^2 = m$.

Điều kiện để hệ có đúng 2 nghiệm (mỗi phương trình trên cho 1 nghiệm duy nhất hoặc trùng nhau) là $m = 0$. Khi đó nghiệm là $(1;1), (-1;-1)$.

Bài tập 4: Giải hệ chứa tích và tổng bình phương

Giải hệ: $\begin{cases} (x-1)(y-1)=18 \\ x^2+y^2=65 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} xy-(x+y)=17 \\ (x+y)^2-2xy=65 \end{cases}$

Kết quả: Giải hệ $S, P$ tìm được $(S=-9, P=8)$ và $(S=11, P=28)$.

Nghiệm: $(-1;-8), (-8;-1), (4;7), (7;4)$.

Bài tập 5: Giải hệ bậc cao

Giải hệ: $\begin{cases} (x+y)(8+xy)=2 \\ x^3+y^3=19 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} S(8+P)=2 \\ S(S^2-3P)=19 \end{cases}$

Kết quả: Giải tìm được $S=1, P=-6$.

Nghiệm: $(3;-2), (-2;3)$.

5. Danh sách bài tập tự luyện (Đầy đủ)

Bạn hãy thử sức với các bài tập sau để củng cố kiến thức:

1. $\begin{cases} x+xy+y=5 \\ x^2+3x+y^2+3y=14 \end{cases}$

2. $\begin{cases} x+2xy+y=7 \\ x^3+y^3=9 \end{cases}$

3. $\begin{cases} (x+y)(1+\frac{1}{xy})=5 \\ (x^2+y^2)(1+\frac{1}{x^2y^2})=49 \end{cases}$

4. $\begin{cases} x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4 \\ x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4 \end{cases}$

5. $\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{7}{\sqrt{xy}}+1 \\ x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}=78 \end{cases}$

6. Biện luận: Tìm $m$ để hệ có nghiệm: $\begin{cases} x+y=4 \\ x^2+y^2=m^2 \end{cases}$

7. Tìm m: Để hệ có nghiệm: $\begin{cases} 5(x+y)-4xy=4 \\ x+y-xy=1-m \end{cases}$

8. Tìm m: Để hệ có nghiệm duy nhất: $\begin{cases} x+y+xy=m+2 \\ x^2y+xy^2=m+1 \end{cases}$

9. Tìm m: Để hệ có đúng hai nghiệm: $\begin{cases} (x+y)^2=4 \\ x^2+y^2=2(m+1) \end{cases}$

ht.