Các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch và bài tập - Toán lớp 7

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ hệ thống lại toàn bộ lý thuyết cốt lõi, phân loại chi tiết các dạng toán phổ biến cùng phương pháp giải mạch lạc, đi kèm hệ thống ví dụ minh họa trực quan giúp các em học sinh dễ dàng tiếp thu.

A. Lý Thuyết Trọng Tâm Cần Nhớ

I. Đại lượng tỉ lệ thuận

1. Định nghĩa

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức:

(Trong đó $k$ là một hằng số khác 0, $k \neq 0$) Thì ta nói $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $k$.

• Chú ý: * Khi đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với đại lượng $x$ thì $x$ cũng tỉ lệ thuận với $y$, ta nói hai đại lượng này tỉ lệ thuận với nhau.

  • Nếu $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $k$ thì $x$ sẽ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ nghịch đảo là $\frac{1}{k}$.

2. Tính chất

Nếu hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ thuận với nhau, ứng với mỗi giá trị $x_1, x_2, x_3, \dots$ khác 0 của $x$, ta có một giá trị tương ứng $y_1, y_2, y_3, \dots$ của $y$ sao cho:

• Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn luôn không đổi và bằng đúng hệ số tỉ lệ $k$:

  $$\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \frac{y_3}{x_3} = \dots = k$$

• Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

  $$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}; \quad \frac{x_1}{x_3} = \frac{y_1}{y_3}; \quad \dots$$

II. Đại lượng tỉ lệ nghịch

1. Định nghĩa

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức:

(Trong đó $a$ là một hằng số khác 0, $a \neq 0$) Thì ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$.

• Chú ý: Khi đại lượng $y$ tỉ lệ nghịch với đại lượng $x$ thì $x$ cũng tỉ lệ nghịch với $y$, ta nói hai đại lượng này tỉ lệ nghịch với nhau.

2. Tính chất

Nếu hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ nghịch với nhau, ứng với mỗi giá trị $x_1, x_2, x_3, \dots$ khác 0 của $x$, ta có một giá trị tương ứng $y_1, y_2, y_3, \dots$ của $y$ sao cho:

• Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn luôn không đổi và bằng đúng hệ số tỉ lệ $a$:

  $$x_1y_1 = x_2y_2 = x_3y_3 = \dots = a$$

• Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

  $$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1}; \quad \frac{x_1}{x_3} = \frac{y_3}{y_1}; \quad \dots$$

B. Các Dạng Toán Và Phương Phương Giải Chi Tiết

Dạng 1: Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch

• Phương pháp giải: º Kiểm tra tỉ lệ thuận: Tính các tỉ số $\frac{y}{x}$ của các cặp giá trị tương ứng. Nếu tất cả các tỉ số đều cho cùng một kết quả hằng số $k$ thì hai đại lượng tỉ lệ thuận.

  • Kiểm tra tỉ lệ nghịch: Tính tích $x \cdot y$ của các cặp giá trị tương ứng. Nếu tất cả các tích đều cho cùng một kết quả hằng số $a$ thì hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Ví dụ 1: Xét xem hai đại lượng $x$ và $y$ trong các bảng sau có tỉ lệ thuận với nhau không?

• Bảng 1:

• Bảng 2:

Lời giải:

• Xét Bảng 1: Ta lập tỉ số $\frac{x}{y}$ ứng với từng cặp giá trị tương ứng:

  $$\frac{x_1}{y_1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}; \quad \frac{x_2}{y_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}; \quad \dots; \quad \frac{x_6}{y_6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

  Nhận thấy $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \dots = \frac{x_6}{y_6} = \frac{1}{2}$. Do tỉ số không đổi nên $x$ và $y$ tỉ lệ thuận với nhau.

• Xét Bảng 2: Ta lập tỉ số $\frac{x}{y}$ ứng với hai cặp giá trị đầu tiên:

  $$\frac{x_1}{y_1} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$$
  $$\frac{x_2}{y_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$$

  Nhận thấy $-\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2}$ nên $\frac{x_1}{y_1} \neq \frac{x_2}{y_2}$. Do tỉ số thay đổi nên $x$ và $y$ không tỉ lệ thuận với nhau.

Ví dụ 2: Xét xem hai đại lượng $x$ và $y$ trong các bảng sau có tỉ lệ nghịch với nhau không?

• Bảng 1:

• Bảng 2:

Lời giải:

• Xét Bảng 1: Ta tính tích $x \cdot y$ tương ứng của hai cặp giá trị đầu tiên:

  $$x_1y_1 = 4 \cdot 9 = 36$$
  $$x_2y_2 = 8 \cdot 4 = 32$$

  Nhận thấy $36 \neq 32$ nên $x_1y_1 \neq x_2y_2$. Do tích thay đổi nên $x$ và $y$ không tỉ lệ nghịch với nhau.

• Xét Bảng 2: Ta tính tích $x \cdot y$ tương ứng của tất cả các cặp giá trị:

  $$4 \cdot 6 = 24; \quad (-2) \cdot (-12) = 24; \quad 8 \cdot 3 = 24; \quad 1 \cdot 24 = 24; \quad 12 \cdot 2 = 24; \quad 6 \cdot 4 = 24$$

  Nhận thấy $x_1y_1 = x_2y_2 = \dots = x_6y_6 = 24$. Do tích không đổi nên $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau.

Ví dụ 3: Kiểm tra xem hai đại lượng $x$ và $y$ có tỉ lệ thuận với nhau không trong các trường hợp sau:

a) Bảng số liệu 1:

b) Bảng số liệu 2:

Lời giải:

a) Ta thấy : frac{x}{y}=frac{1}{9}=frac{2}{18}=frac{3}{27}=frac{4}{36}=frac{5}{45}

⇒ y=9x ⇒ y tỉ lệ thuận với x.

a) Ta thấy : frac{6}{72}left (=frac{1}{12} right ) neq frac{9}{90}left ( =frac{1}{10} right )

⇒ y không tỉ lệ thuận với x (hay x và y không tỉ lệ thuận với nhau).

Lời giải:

• a) Ta xét các tỉ số $\frac{y}{x}$: $\frac{9}{1} = \frac{18}{2} = \frac{27}{3} = \frac{36}{4} = \frac{45}{5} = 9 \Rightarrow y = 9x$. Vậy $y$ tỉ lệ thuận với $x$.

• b) Ta xét hai tỉ số: $\frac{72}{6} = 12$ nhưng $\frac{90}{9} = 10$. Vì $12 \neq 10$ nên các tỉ số không bằng nhau. Vậy $x$ và $y$ không tỉ lệ thuận với nhau.

Dạng 2: Tính hệ số tỉ lệ, biểu diễn mối liên hệ và tìm giá trị ẩn

• Phương pháp giải: * Nếu là tỉ lệ thuận: Tìm hệ số $k = \frac{y}{x}$, từ đó viết công thức mối liên hệ $y = kx$ hoặc $x = \frac{1}{k}y$.

  • Nếu là tỉ lệ nghịch: Tìm hệ số $a = x \cdot y$, từ đó viết công thức mối liên hệ $y = \frac{a}{x}$ hoặc $x = \frac{a}{y}$.

  • Thay giá trị đã biết của một đại lượng vào công thức mối liên hệ vừa tìm được để tìm đại lượng còn lại.

Ví dụ: Cho hai đại lượng $x$ và $y$ tỉ lệ thuận với nhau, biết khi $x = 3$ thì $y = 6$.

a) Tìm hệ số tỉ lệ thuận của $y$ đối với $x$.

b) Biểu diễn đại lượng $y$ theo đại lượng $x$.

c) Tính giá trị của $x$ khi $y = 24$ và tính giá trị của $y$ khi $x = 6$.

Lời giải:

• a) Hệ số tỉ lệ thuận $k$ của $y$ đối với $x$ là:

  $$k = \frac{y}{x} = \frac{6}{3} = 2$$

• b) Công thức biểu diễn đại lượng $y$ theo $x$ là:

  $$y = 2x$$

• c) Khi $y = 24$, thay vào công thức ta được:

  $$2x = 24$$
  $$x = 12$$

  Khi $x = 6$, thay vào công thức ta được:

  $$y = 2 \cdot 6 = 12$$

Dạng 3: Hoàn thành bảng số liệu tương ứng của hai đại lượng

• Phương pháp giải: Tìm hằng số hệ số tỉ lệ ($k$ hoặc $a$) dựa vào cột dữ liệu đã cho đầy đủ cả hai giá trị $x$ và $y$. Thiết lập công thức hàm mối liên hệ rồi lần lượt tính toán các ô trống còn lại trong bảng.

Ví dụ 1: Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

Lời giải:

Vì $x$ và $y$ tỉ lệ thuận với nhau nên ta có công thức tổng quát $y = kx$.

Dựa vào cột dữ liệu đã biết $x = 2$ thì $y = -4$, ta tìm được hệ số tỉ lệ:

Công thức liên hệ là $y = -2x$. Tiến hành tính toán các giá trị còn lại:

• Với $x = -3 \Rightarrow y = (-2) \cdot (-3) = 6$

• Với $x = -1 \Rightarrow y = (-2) \cdot (-1) = 2$

• Với $x = 1 \Rightarrow y = (-2) \cdot 1 = -2$

• Với $x = 5 \Rightarrow y = (-2) \cdot 5 = -10$

Ta hoàn thành bảng số liệu như sau:

Ví dụ 2: Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

Lời giải:

Vì $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau nên tích $x \cdot y = a$ không đổi.

Dựa vào cột số liệu hoàn chỉnh $x = 4$ thì $y = 1,5$, ta tìm được hệ số tỉ lệ:

Hệ thức liên hệ giữa hai đại lượng là $x \cdot y = 6$. Tiến hành tính toán điền vào ô trống:

• Với $x = 0,5 \Rightarrow y = 6 : 0,5 = 12$

• Với $x = -1,2 \Rightarrow y = 6 : (-1,2) = -5$

• Với $y = 3 \Rightarrow x = 6 : 3 = 2$

• Với $x = 6 \Rightarrow y = 6 : 6 = 1$

Ta hoàn thành bảng số liệu như sau:

Dạng 4: Bài toán bắc cầu mối quan hệ giữa nhiều đại lượng

• Phương pháp giải: Biểu diễn đại lượng thứ nhất theo đại lượng thứ hai, đại lượng thứ hai theo đại lượng thứ ba. Thực hiện phép thế đại lượng trung gian để tìm ra hệ thức liên hệ trực tiếp giữa đại lượng thứ nhất và đại lượng thứ ba, từ đó rút ra kết luận.

• Mẹo nhớ nhanh quy luật hệ quả:

  • Đại lượng $x$ tỉ lệ thuận với $y$, $y$ tỉ lệ thuận với $z$ $\rightarrow$ $x$ tỉ lệ thuận với $z$ (Thuận + Thuận $\rightarrow$ Thuận).

  • Đại lượng $x$ tỉ lệ nghịch với $y$, $y$ tỉ lệ nghịch với $z$ $\rightarrow$ $x$ tỉ lệ thuận với $z$ (Nghịch + Nghịch $\rightarrow$ Thuận).

  • Đại lượng $x$ tỉ lệ thuận với $y$, $y$ tỉ lệ nghịch với $z$ $\rightarrow$ $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ (Thuận + Nghịch $\rightarrow$ Nghịch).

Ví dụ 1: Cho đại lượng $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ $k_1 = 3$, đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $k_2 = 2$. Hỏi $x$ tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với $z$ và hệ số tỉ lệ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Theo đề bài, ta biểu diễn các đại lượng:

Thế biểu thức (2) vào biểu thức (1), ta được mối quan hệ trực tiếp:

Vậy đại lượng $x$ tỉ lệ thuận với đại lượng $z$ theo hệ số tỉ lệ $k = 6$.

Ví dụ 2: Cho đại lượng $x$ tỉ lệ nghịch với $y$ theo hệ số tỉ lệ $a_1 = 3$, đại lượng $y$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $a_2 = 6$. Hỏi $x$ và $z$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch và hệ số bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Theo đề bài, ta biểu diễn các đại lượng:

Thế biểu thức (2) vào biểu thức (1), ta được mối quan hệ trực tiếp:

Vậy đại lượng $x$ tỉ lệ thuận với đại lượng $z$ theo hệ số tỉ lệ $k = \frac{1}{2}$.

Ví dụ 3: Cho đại lượng $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ $k_1 = 5$, đại lượng $y$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $a_1 = 2$. Hỏi $x$ và $z$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch và hệ số bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Sau đây là công thức biểu diễn các đại lượng:

Thế biểu thức (2) vào biểu thức (1), ta được mối quan hệ trực tiếp:

Vậy đại lượng $x$ tỉ lệ nghịch với đại lượng $z$ theo hệ số tỉ lệ $a = 10$.

Dạng 5: Giải bài toán đố thực tế bằng cách lập dãy tỉ số bằng nhau

• Phương pháp giải: * Gọi các đại lượng cần tìm là các ẩn số $x, y, z$ (đặt điều kiện đơn vị thích hợp).

  • Thiết lập mối quan hệ tỉ lệ dựa vào đề bài:

    • Nếu các ẩn tỉ lệ thuận với các số $a, b, c$ tương ứng: $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$.

    • Nếu các ẩn tỉ lệ nghịch với các số $a, b, c$ tương ứng: $a \cdot x = b \cdot y = c \cdot z$.

  • Tìm tổng hoặc hiệu của các đại lượng theo dữ kiện đề bài để áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và giải tìm ẩn.

Ví dụ: Để tránh việc phải dùng thước đo chiều dài các cuộn dây thép lớn, người ta thường chọn cách cân khối lượng của chúng. Biết rằng cứ mỗi mét dây thép thì nặng đúng 25 gam.

a) Giả sử cuộn dây thép dài $x$ mét và nặng $y$ gam. Hãy biểu diễn đại lượng $y$ theo đại lượng $x$.

b) Hỏi một cuộn dây thép dài bao nhiêu mét nếu biết cân nặng của nó là $4,5\text{ kg}$?

Lời giải:

• a) Vì khối lượng $y$ của dây thép luôn tỉ lệ thuận với chiều dài $x$ của nó nên ta có cấu trúc công thức $y = kx$.

  Ứng với $x = 1\text{ m}$ thì $y = 25\text{ g}$, thay vào ta được:

  $$25 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 25$$

  Vậy hệ thức biểu diễn đại lượng $y$ theo $x$ là: $y = 25x$.

• b) Đổi đơn vị khối lượng đồng nhất: $4,5\text{ kg} = 4500\text{ g}$.

  Thay giá trị $y = 4500$ vào công thức liên hệ thu gọn:

  $$4500 = 25x$$
  $$x = 4500 : 25$$
  $$x = 180\text{ m}$$

  Vậy cuộn dây thép đó có chiều dài bằng $180\text{ m}$.

C. Hệ Thống Bài Tập Luyện Tập Có Lời Giải Chi Tiết

Bài 1: Bạn Hạnh và bạn Vân dự định làm mứt dẻo từ $2,5\text{ kg}$ dâu tây. Theo công thức sách hướng dẫn, cứ làm $2\text{ kg}$ dâu tây thì cần dùng đến $3\text{ kg}$ đường cát trắng. Bạn Hạnh bảo cần chuẩn bị $3,75\text{ kg}$ đường, còn bạn Vân bảo chỉ cần $3,25\text{ kg}$ đường. Theo em, bạn nào đưa ra tính toán đúng? Vì sao?

Lời giải:

Vì khối lượng đường cần dùng $x\text{ (kg)}$ luôn tỉ lệ thuận với khối lượng dâu tây $y\text{ (kg)}$ nên ta có hệ thức $y = kx$.

Theo đề bài, khi $y = 2$ thì $x = 3$, thay vào công thức ta tìm được hệ số:

Hệ thức liên hệ chuẩn là $y = \frac{2}{3}x$.

Để giải quyết bài toán với khối lượng dâu tây cần làm là $y = 2,5\text{ kg}$, lượng đường $x$ cần chuẩn bị là:

Vậy để làm $2,5\text{ kg}$ dâu tây thì cần chuẩn bị chính xác $3,75\text{ kg}$ đường. Kết luận bạn Hạnh tính toán đúng.

Bài 2: Học sinh của ba lớp 7 cần phải tham gia trồng và chăm sóc tổng cộng 24 cây xanh cho khuôn viên trường. Biết rằng lớp 7A có 32 học sinh, lớp 7B có 28 học sinh và lớp 7C có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh, biết rằng số cây phân phối tỉ lệ thuận với số học sinh của mỗi lớp?

Lời giải:

Gọi $x, y, z$ lần lượt là số lượng cây trồng của ba lớp 7A, 7B, 7C (điều kiện: $x, y, z \in \mathbb{N}^*$).

Vì số cây tỉ lệ thuận với số lượng học sinh nên ta thiết lập dãy tỉ số bằng nhau:

Tổng số cây ba lớp cần trồng là 24 cây, suy ra: $x + y + z = 24$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Tiến hành tính số cây của từng lớp:

Kết luận: Số cây trồng phân bổ cho các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 8 cây, 7 cây và 9 cây.

Bài 3: Đồng bạch là một loại hợp kim quý được tạo thành từ niken, kẽm và đồng với khối lượng của các thành phần lần lượt tỉ lệ thuận với các số 3; 4 và 13. Hỏi cần phải chuẩn bị bao nhiêu kilôgam mỗi chất niken, kẽm và đồng để sản xuất được $150\text{ kg}$ hợp kim đồng bạch?

Lời giải:

Gọi $x, y, z\text{ (kg)}$ lần lượt là khối lượng thành phần của niken, kẽm và đồng cần dùng (điều kiện: $x, y, z > 0$).

Vì khối lượng các chất tỉ lệ thuận với các số 3; 4; 13 nên ta lập được dãy tỉ số:

Tổng khối lượng hợp kim đồng bạch cần sản xuất là $150\text{ kg}$, do đó: $x + y + z = 150$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Tiến hành tính toán khối lượng cụ thể từng chất:

Kết luận: Khối lượng các nguyên liệu cần lấy để sản xuất là $22,5\text{ kg}$ niken, $30\text{ kg}$ kẽm và $97,5\text{ kg}$ đồng.

Bài 4: Biết độ dài các cạnh của một hình tam giác tỉ lệ thuận với hệ số chuỗi số 2 : 3 : 4 và tổng chu vi của hình tam giác đó đo được là $45\text{ cm}$. Hãy tính độ dài cụ thể của từng cạnh tam giác.

Lời giải:

Gọi $x, y, z\text{ (cm)}$ lần lượt là độ dài của ba cạnh tam giác cần tìm (điều kiện: $x, y, z > 0$).

Vì độ dài các cạnh tỉ lệ với chuỗi số 2; 3; 4 nên ta có hệ dãy tỉ số:

Chu vi của tam giác bằng $45\text{ cm}$ nghĩa là tổng độ dài ba cạnh: $x + y + z = 45$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Giải hệ tìm độ dài từng cạnh:

Kết luận: Độ dài các cạnh của tam giác đó lần lượt là $10\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ và $20\text{ cm}$.

Bài 5: Bài toán đố vui: Em hãy tính xem trên một chiếc đồng hồ tiêu chuẩn, khi kim giờ quay hoàn thành được đúng một vòng quay trọn vẹn thì các kim phút và kim giây tương ứng sẽ quay được tổng cộng bao nhiêu vòng?

Lời giải:

Ta dựa vào các thông số quy đổi thời gian thực tế của chiếc đồng hồ để phân tích đại lượng:

• Theo định nghĩa thời gian: 1 giờ = 60 phút = 3600 giây.

• Khi kim giây hoàn thành được 1 vòng quay trọn vẹn trên mặt số thì thời gian trôi qua là 60 giây (tương đương kim phút nhích được 1 vạch nhỏ).

• Khi kim phút hoàn thành được 1 vòng quay trọn vẹn trên mặt số thì thời gian trôi qua là 60 phút (tương đương với 1 giờ đồng hồ và bằng kim giây quay được 60 vòng).

• Như vậy, cứ mỗi khi kim giờ dịch chuyển được khoảng cách 1 giờ thì kim phút đã quay được 1 vòng và kim giây quay được 60 vòng.

Khi kim giờ quay hoàn thành được đúng một vòng quay trọn vẹn nghĩa là thời gian đã trôi qua được đúng 12 giờ. Do đó:

• Số vòng quay của kim phút đạt được là: $1 \cdot 12 = 12\text{ vòng}$.

• Số vòng quay của kim giây đạt được là: $60 \cdot 12 = 720\text{ vòng}$.

D. Hệ Thống Bài Tập Tự Luyện Tập (Học Sinh Tự Giải)

Các em học sinh hãy tự vận dụng các phương pháp phân loại cấu trúc đại lượng trên để thực hành giải các bài tập chuyên đề dưới đây:

Bài tập 1: Cho biết hai đại lượng $x$ và $y$ tỉ lệ thuận với nhau. Khi giá trị $x = 2$ thì giá trị tương ứng $y = 10$.

a) Tìm hệ số tỉ lệ $k$ của đại lượng $y$ đối với đại lượng $x$.

b) Hãy biểu diễn công thức tính $y$ theo $x$.

c) Tính giá trị tương ứng của $y$ khi biết $x = -3$ và khi $x = 5$.

Bài tập 2: Cho hai đại lượng $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau. Biết rằng khi giá trị $x = 3$ thì giá trị tương ứng $y = 6$.

a) Tìm hệ số tỉ lệ $a$ của hai đại lượng.

b) Hãy viết công thức biểu diễn đại lượng $x$ theo đại lượng $y$.

c) Tính giá trị tương ứng của $x$ khi biết $y = -2$ và khi $y = 1$.

Bài tập 3: Cho biết hai đại lượng $x$ và $y$ tỉ lệ thuận với nhau, khi giá trị $x = 4$ thì $y = 12$.

a) Tìm hệ số tỉ lệ $k$ của $y$ đối với $x$ và viết hệ thức liên hệ.

b) Tìm giá trị của $x$ khi biết giá trị biến $y = 180$.

Bài tập 4: Điền các giá trị số học thích hợp vào các ô trống chưa biết trong các bảng sau:

a) Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận:

b) Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch:

Bài tập 5: Xét xem các đại lượng trong bảng số liệu sau có tạo thành các đại lượng tỉ lệ không?

a) Đại lượng $x$ và $y$ có tỉ lệ thuận với nhau không?

b) Đại lượng $x$ và $y$ có tỉ lệ nghịch với nhau không?

Bài tập 6: Cho đại lượng $x$ tỉ lệ thuận với đại lượng $y$ theo hệ số tỉ lệ $k_1 = 2$, đại lượng $y$ tỉ lệ nghịch với đại lượng $z$ theo hệ số tỉ lệ $a_1 = 6$. Hỏi đại lượng $x$ và $z$ tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với nhau và hệ số tỉ lệ bằng bao nhiêu?

Bài tập 7: Cho đại lượng $x$ tỉ lệ thuận với đại lượng $y$ theo hệ số tỉ lệ $k_1 = 10$, đại lượng $y$ tỉ lệ nghịch với đại lượng $z$ theo hệ số tỉ lệ $a_1 = 2$. Hỏi đại lượng $x$ và $z$ tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với nhau và tìm hệ số tỉ lệ đó?

Bài tập 8: Tìm các ẩn số dựa trên tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

• a) Tìm hai số $x$ và $y$ biết chúng tỉ lệ thuận với các số 3; 4 và thỏa mãn đẳng thức: $x + y = 21$.

• b) Tìm hai số $a$ và $b$ biết chúng tỉ lệ thuận với các số 7; 9 và thỏa mãn đẳng thức: $3a - 2b = 30$.

• c) Tìm ba số $x, y, z$ biết chúng tỉ lệ thuận với các số 3; 4; 5 và thỏa mãn đẳng thức: $x - y + z = 20$.

• d) Tìm ba số $a, b, c$ biết chúng tỉ lệ thuận với các số 4; 7; 10 và thỏa mãn đẳng thức: $2a + 3b + 4c = 69$.

Bài tập 9: Giải các bài toán hình học ứng dụng:

• a) Tìm độ dài ba cạnh của một hình tam giác biết chúng tỉ lệ thuận với chuỗi số 5; 13; 12 và tổng chu vi đo được của tam giác đó bằng $156\text{ m}$.

• b) Tìm độ dài ba cạnh của một hình tam giác biết chu vi của tam giác bằng $52\text{ cm}$ và độ dài ba cạnh tỉ lệ nghịch với các số 8; 9; 12.

• c) Tìm ba số nguyên $a, b, c$ biết rằng tổng của chúng bằng 100, đồng thời hai số $a$ và $b$ tỉ lệ nghịch với 3 và 2; hai số $b$ và $c$ tỉ lệ thuận với 4 và 3.