Bài 7.50 trang 58 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức: Hàm số bậc nhất và Diện tích tam giác

Bài 7.50 trang 58 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số bậc nhất y = (m + 2)x + 3.

a) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = –x.

b) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị m tìm được ở câu a.

c) Tìm giao điểm A của đồ thị hàm số tìm được ở câu a và đồ thị của hàm số y = x + 1. Tính diện tích của tam giác OAB, trong đó B là giao điểm của đồ thị hàm số y = x + 1 với trục Ox.

Phân tích nhanh

Bài toán này tổng hợp nhiều kiến thức quan trọng về chương Hàm số:

1. Điều kiện xác định: Hệ số $a$ của hàm số bậc nhất phải khác $0$.

2. Đường thẳng song song: $a = a'$ và $b \neq b'$.

3. Tọa độ giao điểm: Giải phương trình hoành độ giao điểm.

4. Diện tích tam giác: Xác định độ dài cạnh đáy và chiều cao dựa trên tọa độ các điểm.

Giải Bài 7.50 trang 58 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Hàm số $y = (m + 2)x + 3$ là hàm số bậc nhất khi $m + 2 \neq 0 \Rightarrow m \neq – 2$.

a) Tìm giá trị của m

Đồ thị hàm số $y = (m + 2)x + 3$ song song với đường thẳng $y = –x$ (có hệ số góc $a' = -1$) khi:

Đối chiếu điều kiện: $m = -3$ thỏa mãn $m \neq -2$.

Kết luận: Vậy giá trị cần tìm là $m = -3$.

b) Vẽ đồ thị hàm số với m = -3

Với $m = -3$, ta có hàm số: $y = -x + 3$.

• Cho $x = 0 \Rightarrow y = 3$, ta được điểm $(0; 3)$ trên trục $Oy$.

• Cho $y = 0 \Rightarrow x = 3$, ta được điểm $(3; 0)$ trên trục $Ox$.

  Đồ thị: Là đường thẳng đi qua hai điểm $(0; 3)$ và $(3; 0)$.

c) Tìm tọa độ giao điểm và tính diện tích

1. Tìm tọa độ điểm A:

Phương trình hoành độ giao điểm của $y = -x + 3$ và $y = x + 1$ là:

Thay $x = 1$ vào $y = x + 1 \Rightarrow y = 2$. Vậy $A(1; 2)$.

2. Tìm tọa độ điểm B:

Điểm $B$ là giao điểm của $y = x + 1$ với trục $Ox$ nên $y = 0$.

Vậy $B(-1; 0)$.

3. Tính diện tích tam giác OAB:

• Cạnh đáy $OB$: Vì $B(-1; 0)$ thuộc trục hoành nên độ dài đoạn thẳng $OB = |-1| = 1$.

• Chiều cao $AH$: Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên trục $Ox$. Khi đó tọa độ $H(1; 0)$.

  Chiều cao $AH = |y_A| = 2$.

• Diện tích tam giác $OAB$ là:

  $$S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \text{ (đơn vị diện tích)}$$

Tổng kết kiến thức

• Điều kiện song song: Hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = a'x + b'$ song song khi $a = a'$ và $b \neq b'$.

• Tính diện tích: Trong mặt phẳng tọa độ, nếu một cạnh của tam giác nằm trên trục hoành, chiều cao tương ứng chính là trị tuyệt đối tung độ của đỉnh còn lại.

• Giao điểm với trục hoành: Luôn cho $y = 0$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên điều kiện hàm số bậc nhất: Không đặt $m+2 \neq 0$ có thể bị trừ điểm trình bày.

• Sai dấu khi tính diện tích: Độ dài đoạn thẳng luôn dương ($OB = 1$), nhiều bạn lấy giá trị tọa độ âm dẫn đến diện tích âm.

• Nhầm lẫn giữa AH và OH: Hãy chú ý chiều cao phải là đoạn thẳng vuông góc hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy tương ứng.

Mẹo giải nhanh

Để kiểm tra tọa độ giao điểm $A$:

1. Sử dụng máy tính Casio, vào chức năng giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn (Mode 5-1 hoặc Menu 9-1-2).

2. Nhập hệ:

   $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = -1 \end{cases}$

3. Máy sẽ trả ngay kết quả $x = 1, y = 2$. Điều này giúp bạn tiết kiệm thời gian và đảm bảo độ chính xác tuyệt đối.