Bài 7.31 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.31 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh a, A'A = A'B = A'C = b. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Giải bài 7.31 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Vì hình chóp A'.ABC có A'A = A'B = A'C, ABC là tam giác đều nên hình chóp A'.ABC là hình chóp đều.

Gọi F là hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABC),

khi đó F là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó A'F ⊥ (ABC) hay A'F là đường cao của hình lăng trụ ABC.A'B'C'.

Giả sử AF ∩ CB tại D,

⇒ D là trung điểm của BC, AD ⊥ BC.

Vì ABC là tam giác đều cạnh a, đường cao AD nên

 và 

Có 

Xét tam giác A'FA vuông tại F, có:

Khi đó, thể tích của lăng trụ là: