Bài 6.6 trang 9 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 6.6 trang 9 Toán 11 KNTT:

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh: 

a) $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}}$

b) $\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta sử dụng quy tắc so sánh lũy thừa $a^m$ và $a^n$:

1. Cơ số $a > 1$: $a^m > a^n \iff m > n$.

2. Cơ số $0 < a < 1$: $a^m > a^n \iff m < n$.

a) $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}}$

Cơ số $a=5 > 1$. Ta cần so sánh hai số mũ $6\sqrt{3}$ và $3\sqrt{6}$.

b) $\left( \frac{1}{2} \right)^{-\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Đưa cả hai biểu thức về cùng cơ số 2 và so sánh số mũ.

Lời giải bài 6.6 trang 9 Toán 11:

a) $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}}$

Ta có:

$6\sqrt{3}=\sqrt{36}.\sqrt{3}$ $=\sqrt{36.3}=\sqrt{108}$

$3\sqrt{6}=\sqrt{9}.\sqrt{6}$ $=\sqrt{9.6}=\sqrt{54}$

Vì 108 > 54 > 0 nên $\sqrt{108}>\sqrt{54}$ hay $6\sqrt{3}>3\sqrt{6}$

Lại có 5 > 1 nên $5^{6\sqrt{3}}$ > $5^{3\sqrt{6}}$

b) $\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}}$

Ta có: $\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{4}{3}}=2^{\frac{4}{3}}$

$\sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{2}}.2^{\frac{2}{3}}$ $=2^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=2^{\frac{7}{6}}$

Do 2 > 1 và $\frac{4}{3}=\frac{8}{6}>\frac{7}{6}$ nên $2^{\frac{4}{3}}>2^{\frac{7}{6}}$

hay $\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{4}{3}}>\sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}}$