Bài 6.5 trang 9 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 6.5 trang 9 Toán 11 KNTT:

Chứng minh rằng:

$\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để chứng minh đẳng thức, ta sẽ biến đổi vế trái ($VT$) cho bằng vế phải ($VP$):

Ta cần nhận thấy rằng biểu thức dưới dấu căn có thể viết dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu:

$\mathbf{4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1$ $= (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2$ $= (\sqrt{3} + 1)^2}$

Lời giải chi tiết bài 6.5 trang 9 Toán 11:

Ta có:

$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ $=\sqrt{(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}+1^2}$ $=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}=\sqrt{3}+1$

$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$ $=\sqrt{(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}+1^2}$ $=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=\sqrt{3}-1

Vậy có: 

$\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}$ $=\sqrt{3}+1-(\sqrt{3}-1)$ $=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1=2$