Giải bài 4.6 trang 77 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = CM, BN = CN, BP = 2DP.

a) Xác định giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định giao điểm: Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là điểm chung duy nhất của chúng. Để tìm giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNP)$, ta sẽ tìm một đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(MNP)$ và cắt đường thẳng $CD$.

2. Xác định giao tuyến: Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua các điểm chung của chúng. Để tìm giao tuyến của mặt phẳng $(ACD)$ và $(MNP)$, ta cần tìm hai điểm chung của chúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Xác định giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).

Trong ΔBCD, N thuộc cạnh BC thỏa mãn BN = CN hay N là trung điểm của BC và P thuộc cạnh BD sao cho BP = 2DP. Khi đó, đường thẳng NP cắt CD tại một điểm E.

Vì E thuộc NP nằm trong mặt phẳng (MNP) nên E thuộc mặt phẳng (MNP).

⇒ E là giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

Vì M thuộc cạnh AC nên M thuộc mặt phẳng (ACD), vì E thuộc CD nên E thuộc mặt phẳng (ACD), do đó đường thẳng ME nằm trong mặt phẳng (ACD).

Vì E thuộc mặt phẳng (MNP) và M thuộc mặt phẳng (MNP) nên ME nằm trong mặt phẳng (MNP).

⇒ ME là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).