Giải bài 4.1 trang 77 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Trong không gian, cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu a chứa một điểm nằm trong (P) thì a nằm trong (P).

b) Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc (P) thì a nằm trong (P).

c) Nếu a và b cùng nằm trong (P) thì giao điểm (nếu có) của a và b cũng nằm trong (P).

d) Nếu a nằm trong (P) và a cắt b thì b nằm trong (P).

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để xác định tính đúng sai của các mệnh đề, các em cần dựa vào các định nghĩa và tính chất cơ bản trong hình học không gian. Một mẹo nhỏ là hãy thử tìm ví dụ phản chứng (ví dụ chứng minh mệnh đề sai) cho mỗi phát biểu.

Các vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là:

• Đường thẳng nằm trong mặt phẳng: Mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.

• Đường thẳng cắt mặt phẳng: Đường thẳng và mặt phẳng có một điểm chung duy nhất.

• Đường thẳng song song với mặt phẳng: Đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung nào.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào các định nghĩa và tính chất đã học, ta xét từng mệnh đề:

a) "Nếu a chứa một điểm nằm trong (P) thì a nằm trong (P)."

Mệnh đề này là sai.

Giải thích: Một đường thẳng có thể cắt một mặt phẳng tại một điểm. Khi đó, đường thẳng đó có chứa một điểm nằm trong mặt phẳng, nhưng không nằm hoàn toàn trong mặt phẳng đó. Ví dụ, một cây bút chì xuyên qua một tờ giấy. 

b) "Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc (P) thì a nằm trong (P)."

Mệnh đề này là đúng.

Giải thích: Đây là một trong những tính chất được thừa nhận trong hình học không gian. Một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi ba điểm không thẳng hàng, hoặc một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó. Khi hai điểm của một đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng, thì toàn bộ đường thẳng đó phải nằm trong mặt phẳng đó.

c) "Nếu a và b cùng nằm trong (P) thì giao điểm (nếu có) của a và b cũng nằm trong (P)."

Mệnh đề này là đúng.

Giải thích: Giả sử hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại điểm $H$. Vì $H$ thuộc đường thẳng $a$ và đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, nên $H$ phải thuộc $(P)$. Tương tự, $H$ cũng thuộc đường thẳng $b$ và $b$ nằm trong $(P)$, nên $H$ thuộc $(P)$. Do đó, giao điểm của chúng cũng phải nằm trong mặt phẳng $(P)$. 

d) "Nếu a nằm trong (P) và a cắt b thì b nằm trong (P)."

Mệnh đề này là sai.

Giải thích: Hai đường thẳng cắt nhau có một điểm chung. Đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, còn đường thẳng $b$ có thể cắt $(P)$ tại chính giao điểm đó mà không nằm hoàn toàn trong $(P)$. Ví dụ, một đường thẳng nằm trên mặt bàn (đường thẳng $a$) và một cây bút chì (đường thẳng $b$) xuyên qua mặt bàn tại một điểm trên đường thẳng $a$. Khi đó, đường thẳng $b$ cắt đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ nhưng không nằm trong $(P)$.