Giải bài 4.3 trang 77 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng a, b nằm trong (P). Một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng c nằm trong mặt phẳng (P).

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để chứng minh một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng, các em cần áp dụng một trong các tiên đề cơ bản của hình học không gian. Một tiên đề quan trọng phát biểu rằng:

• Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng, thì toàn bộ đường thẳng đó sẽ nằm trong mặt phẳng đó.

Trong bài toán này, chúng ta được cho biết đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$ tại hai điểm phân biệt. Nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh hai điểm đó cũng thuộc mặt phẳng $(P)$, từ đó suy ra đường thẳng $c$ nằm trong $(P)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Giả sử đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B.

- Vì A thuộc a và a nằm trong (P) nên A thuộc (P).

- Vì B thuộc b và b nằm trong (P) nên B thuộc (P).

Đường thẳng c có hai điểm phân biệt A và B cùng thuộc mặt phẳng (P)

⇒ Tất cả các điểm của đường thẳng c đều thuộc (P)

⇒ Đường thẳng c nằm trong mặt phẳng (P).