Giải bài 4.5 trang 77 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và lấy một điểm E thuộc cạnh SA của hình chóp (E khác S, A). Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ một đường thẳng d cắt các cạnh CB, CD lần lượt tại M, N và cắt các tia AB, AD lần lượt tại P, Q.

a) Xác định giao điểm của mp(E, d) với các cạnh SB, SD của hình chóp.

b) Xác định giao tuyến của mp(E, d) với các mặt của hình chóp.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, các em cần áp dụng các quy tắc cơ bản:

1. Tìm giao điểm: Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là điểm chung duy nhất của chúng. Để tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng, ta tìm một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó và cùng nằm trong một mặt phẳng chứa đường thẳng đã cho.

2. Tìm giao tuyến: Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua các điểm chung của chúng. Để tìm giao tuyến, ta cần tìm hai điểm chung hoặc một điểm chung và chỉ ra rằng giao tuyến đó song song với một đường thẳng đã biết.

Chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp này để giải quyết từng phần của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Xác định giao điểm của mp(E, d) với các cạnh SB, SD của hình chóp.

• Vì E thuộc cạnh SA nên E thuộc mặt phẳng (SAB). Vì P thuộc đường thẳng AB nên P thuộc mặt phẳng (SAB).

⇒ Các điểm S, A, B, E, P cùng thuộc mặt phẳng (SAB).

Trong tam giác SAB, đường thẳng EP cắt cạnh SB tại một điểm H. Do P thuộc đường thẳng d nên EP nằm trong mp(E, d) và H thuộc EP, do đó H thuộc mp(E, d).

⇒ H là giao điểm của đường thẳng SB và mp(E, d).

• Vì E thuộc cạnh SA nên E thuộc mặt phẳng (SAD). Vì Q thuộc đường thẳng AD nên Q thuộc mặt phẳng (SAD).

Như vậy, các điểm S, A, D, E, Q cùng thuộc mặt phẳng (SAD).

Trong ΔSAD, đường thẳng EQ cắt cạnh SD tại một điểm I. Do Q thuộc đường thẳng d nên EQ nằm trong mp(E, d) và I thuộc EQ, do đó I thuộc mp(E, d).

⇒ I là giao điểm của đường thẳng SD và mp(E, d).

b) Xác định giao tuyến của mp(E, d) với các mặt của hình chóp.

• Đường thẳng d cắt các cạnh CB, CD lần lượt tại M, N, do đó M, N thuộc d, mà d nằm trong mp(E, d) nên đường thẳng MN cũng nằm trong mp(E, d).

Ta lại có, M thuộc CB nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên M thuộc mặt phẳng (ABCD), tương tự N thuộc CD nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên N thuộc mặt phẳng (ABCD), do đó đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (ABCD).

⇒ MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và mp(E, d).

• Vì H thuộc SB nằm trong mặt phẳng (SAB) nên H thuộc mặt phẳng (SAB), lại có E thuộc mặt phẳng (SAB), do đó EH nằm trong mặt phẳng (SAB). Vì E thuộc mp(E, d) và H thuộc mp(E, d) nên EH nằm trong mp(E, d).

⇒ EH là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và mp(E, d).

• Vì I thuộc SD nằm trong mặt phẳng (SAD) nên I thuộc mặt phẳng (SAD), lại có E thuộc mặt phẳng (SAD), do đó EI nằm trong mặt phẳng (SAD). Vì E thuộc mp(E, d) và I thuộc mp(E, d) nên EI nằm trong mp(E, d).

Vậy EI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và mp(E, d).

• Vì H thuộc SB nên H thuộc mặt phẳng (SBC), vì M thuộc BC nên M thuộc mặt phẳng (SBC), do đó HM nằm trong mặt phẳng (SBC). Lại có M thuộc d nên M thuộc mp(E, d) và H thuộc mp(E, d) nên HM nằm trong mp(E, d).

⇒ HM là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và mp(E, d).

• Vì I thuộc SD nên I thuộc mặt phẳng (SCD), vì N thuộc CD nên N thuộc mặt phẳng (SCD), do đó IN nằm trong mặt phẳng (SCD). Lại có N thuộc d nên N thuộc mp(E, d) và I thuộc mp(E, d) nên IN nằm trong mp(E, d).

⇒ IN là giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và mp(E, d).